Задача 71473 Исследуйте ряды на абсолютное и условное...
Условие
Решение
[m]a(n) = sin \frac{2}{3n}[/m]
По признаку Даламбера найдем предел:
[m]\lim \limits_{n \to \infty} \frac{a(n+1)}{a(n)} = \lim \limits_{n \to \infty} sin \frac{2}{3n+3} : sin \frac{2}{3n}[/m]
Так как n → oo, то 2/3n → 0
Для малых значений x есть приближение: sin x ≈ x. Поэтому:
[m]\lim \limits_{n \to \infty} \frac{a(n+1)}{a(n)} = \lim \limits_{n \to \infty} sin \frac{2}{3n+3} : sin \frac{2}{3n} = \lim \limits_{n \to \infty} (\frac{2}{3n+3} : \frac{2}{3n}) = \lim \limits_{n \to \infty} \frac{3n}{3n+3} < 1[/m]
Так как знаменатель больше числителя, то дробь меньше 1.
По признаку Даламбера, если
[m]\lim \limits_{n \to \infty} \frac{a(n+1)}{a(n)} < 1[/m]
То ряд сходится.
Так как ряд из модулей сходится, то знакопеременный ряд сходится абсолютно.