Задача 71466 Исследовать на сходимость и абсолютную...
Условие
Решение
a(n) = 1/ln(n)
По признаку Даламбера, нацдем предел:
[m]\lim \limits_{n \to \infty} \frac{a(n+1)}{a(n)} = \lim \limits_{n \to \infty} \frac{1}{ln(n+1)} : \frac{1}{ln(n)} = \lim \limits_{n \to \infty} \frac{ln(n)}{ln(n+1)} < 1[/m]
Функция y = ln(x) - возрастающая, поэтому, чем больше число под логарифмом, тем больше и сам логарифм.
n + 1 > n, значит ln(n+1) > ln(n)
Так как знаменатель больше числителя, то дробь меньше 1.
По признаку Даламбера, если предел:
[m]\lim \limits_{n \to \infty} \frac{a(n+1)}{a(n)} < 1[/m]
То ряд сходится.
Так как ряд из модулей сходится, то знакочередующийся ряд сходится абсолютно.