Задача 71425 Решите уравнения в полных...
Условие
(y^2+3x^2y^4+2x)dx + (2xy+4x^3y^3-3y^2)dy = 0
Решение
Q(x;y)=2xy+4x^3y^3-3y^2
Так как
∂ P/ ∂ y=(y^2+3x^2y^4+2x)`_(y)=2y+12x^2y^3
∂ Q/ ∂ x=(2xy+4x^3y^3-3y^2)`_(x)=2y+12x^2y^3
∂ P/ ∂ y = ∂ Q/ ∂ x,
это [b]уравнение в полных дифференциалах.[/b]
Значит, u(x;y)=C - решение дифференциального уравнения.
Функция u может быть найдена из условий:
∂ u/ ∂ x=P(x;y)
∂ u/ ∂ y=Q(x;y)
∂ u/ ∂ x=P(x;y) ⇒ [b]u(x;y)[/b]= ∫ P(x;y) dx= ∫ (y^2+3x^2y^4+2x)dx=y^2x+3y^4(x^3/3)+x^2+ [b]φ (y)[/b]=
=xy^2+x^3y^4+x^2+ [b]φ (y)[/b]
Находим производную:
∂ u/ ∂ y=(xy^2+x^3y^4+x^2+ [b]φ (y)[/b])`_(y)=2xy+4x^3y^3+ [b](φ (y)[/b])`_(y)
Так как
∂ u/ ∂ y=Q(x;y)
то
2xy+4x^3y^3+ [b](φ (y)[/b])`_(y)=2xy+4x^3y^3-3y^2
[b]φ` (y)[/b]=-3y^2
Тогда
[b] φ (y)[/b]=-3(y^3/3) +C
О т в е т.
[b]u(x;y)=xy^2+x^3y^4+x^2-y^3+C[/b]