Задача 71404 решите дифференциальные...
Условие
y''*sin^3x = sin2x
y''-y'/x = xe^(3x)
Решение
Замена
[m]y`=z[/m]
[m]y``=z`[/m]
[m]z-\frac{z}{x}=x\cdot e^{3x}[/m] - линейное однородное дифференциальное уравнение первого порядка вида
[m]z+p(x)z=f(x)[/m]
[m]p(x)=-\frac{1}{x}[/m]
[m]f(x)= x\cdot e^{3x}[/m]
[m]z=u\cdot v[/m]
[m]z`=u`\cdot v+u\cdot v`[/m]
[m]u`\cdot v+u\cdot v`-\frac{1}{x}u\cdot v=x\cdot e^{3x}[/m]
[m]u`\cdot v+u\cdot (v`-\frac{1}{x}\cdot v)=x\cdot e^{3x}[/m]
1)[m] (v`-\frac{1}{x}\cdot v)=0[/m]- уравнение с разделяющимися переменными
2)[m]u`\cdot v+u\cdot 0=x\cdot e^{3x}[/m]- уравнение с разделяющимися переменными
Решаем 1)
[m]\frac{dv}{v}=\frac{dx}{x}[/m]
[m] ∫ \frac{dv}{v}= ∫ \frac{dx}{x}[/m] ⇒ ln|v|=ln|x| ⇒ [b]v=x[/b]
2)[m]u`\cdot x=x\cdot e^{3x}[/m] ⇒ [m]u`= e^{3x}[/m] ⇒ [m]u= ∫ e^{3x}dx=\frac{1}{3}e^{3x}+C_{1}[/m]
[m]z=x\cdot(\frac{1}{3}e^{3x}+C_{1})[/m]
[m]y`=x\cdot(\frac{1}{3}e^{3x}+C_{1})[/m]
[m]y= ∫ x\cdot(\frac{1}{3}e^{3x}+C_{1})dx=\frac{1}{3}x\cdot e^{3x}dx+ ∫ C_{1}xdx=[/m]
первый интеграл по частям
[m]=\frac{1}{9}xe^{3x}-\frac{1}{9} ∫ e^{3x}+C_{1}\frac{x^2}{2}+C_{2}=\frac{1}{9}xe^{3x}-\frac{1}{27} e^{3x}+C_{1}\frac{x^2}{2}+C_{2}[/m]
7.
[m]y``=\frac{sin2x}{sin^3x}[/m]
[m]y`= ∫ y``dx= ∫ \frac{sin2x}{sin^3x}dx=∫ \frac{2sinx\cdot cosx}{sin^3x}dx=2 ∫ \frac{cos}{sin^2x}=2 ∫sin^{-2}x(cosxdx)=2 ∫sin^{-2}x d(sinx)=2\cdot \frac{sin^{-1}}{-1}+C_{1}=-\frac{2}{sinx}+C_{1}[/m]
[m]y= ∫ y`dx= ∫( -\frac{2}{sinx}+C_{1})dx=-2ln|tg\frac{x}{2}|+C_{1}x+C_{2}[/m]