Задача 71342 Заранее спасибо! Исследовать на...
Условие
Решение
[m](-1)^{n-1} \cdot \frac{1}{n \cdot ln(3n)}[/m]
Ряд из модулей:
[m]\frac{1}{n \cdot ln(3n)}[/m]
Применим признак Даламбера, найдём предел:
[m]\lim \limits_{n \to \infty} \frac{a(n+1)}{a(n)} = \lim \limits_{n \to \infty} \frac{1}{(n+1) \cdot ln(3n+3)} : \frac{1}{n \cdot ln(3n)} = \lim \limits_{n \to \infty} \frac{n \cdot ln(3n)}{(n+1) \cdot ln(3n+3)} =[/m]
[m]= \lim \limits_{n \to \infty} \frac{n}{n+1} \cdot \lim \limits_{n \to \infty} \frac{ln(3n)}{ln(3n+3)} = 1 \cdot \lim \limits_{n \to \infty} \frac{ln(3n)}{ln(3n+3)} < 1[/m]
Функция y = ln (x) - возрастающая. Так как 3n + 3 > 3n, то в числителе стоит число меньше, чем в знаменателе, поэтому вся дробь меньше 1.
Так предел меньше 1, то по признаку Даламбера ряд сходится.
Так как ряд из модулей сходится, то знакопеременный ряд сходится абсолютно.