Задача 71329 Найти общее решение дифференциального...
Условие
Найти общее решение дифференциального уравнения y'+ytgx=sin2x
математика колледж
283
Решение
★
Неоднородное уравнение 1 порядка, решается заменой:
y = u*v, y' = u'*v + u*v'
u'*v + u*v' + u*v*tg x = sin 2x
Выносим за скобки u:
u'*v + u*(v' + v*tg x) = sin 2x
Скобку приравниваем к 0:
v' + v*tg x = 0
dv/dx = -v*tg x
Уравнение с разделяющимися переменными.
dv/v = -tg x dx
Берем интегралы от левой и правой части, они табличные:
ln |v| = ln |cos x|
v = cos x
Подставляем в уравнение:
u'*cos x + u*0 = sin 2x
u'*cos x = 2sin x*cos x
u' = 2sin x
u = -2cos x + C
Возвращаемся к функции y:
y = u*v = (-2cos x + C)*cos x = -2cos^2 x + C*cos x