Задача 71322 Решить данные дифференциальные...
Условие
y" =y'e^y
Решение
Замена
[m]y`=u(y)[/m]
[m]y``=(u(y))`=u`\cdot y`=u`\cdot u[/m]
Уравнение принимает вид
[m]u`\cdot u=u\cdot e^{y}[/m]
[m]u`= e^{y}[/m]
[m]u`=\frac{du}{dy}[/m]
[m]du=e^{y}dy[/m]
[m]u= ∫ e^{y}dy[/m]
[m]u= e^{y}+C_{1}[/m]
[m]y`= e^{y}+C_{1}[/m]
[m]y`=\frac{dy}{dx}[/m]
[m]\frac{dy}{dx}=( e^{y}+C_{1})[/m]- уравнение с разделяющимися переменными
[m]\frac{dy}{( e^{y}+C_{1})}=dx[/m]
Интегрируем:
[m] ∫ \frac{dy}{( e^{y}+C_{1})}= ∫ dx[/m]
[m] ∫ \frac{dy}{( e^{y}+C_{1})}= ∫ dx[/m]
Вычисляем интеграл слева методом [i]замены переменной[/i]
[m]e^{y}+C_{1}=t[/m] ⇒ [m]e^{y}=t-C_{1}[/m] ⇒
[m]y=ln(t-C_{1})[/m]
[m]dy=\frac{dt}{t-C_{1}}[/m]
[m] ∫ \frac{dy}{( e^{y}+C_{1})}= ∫\frac{1}{t(t-C_{1})} dt= ∫(\frac{\frac{1}{C_{1}}}{t}-\frac{\frac{1}{C_{1}}}{t-C_{1}} )dt =\frac{lnt}{C_{1}}-\frac{ln|t-C_{1}|}{C_{1}}[/m]
[m] \frac{ln(e^{y}+C_{1})}{C_{1}}-\frac{ln(e^{y})}{C_{1}}=x+C_{2}[/m]- общее решение дифференциального уравнения