Задача 71314 проверить ортогональность системы...

641174128cfb9210f616c190

09.05.2023 11:48:59

проверить ортогональность системы векторов и дополнить векторы к ортогональному базису пространства
(1,-2,1,3) , (2,1,-3,1)

5f3ea7e3faf909182968ddd9

09.05.2023 13:06:40

★

проверить ортогональность системы векторов:

vector{a}=(1,–2,1,3)
vector{b}= (2,1,–3,1)

Находим скалярное произведение векторов

vector{a}*vector{b}=1*2+(-2)*1+1*(–3)+3*1=0 ⇒ Векторы vector{a} и vector{b} ортогональны.


Дополним систему этих двух векторов до базиса R^ 4 векторами
vector{c}*vector{d} , удовлетворяющими условиям

vector{a} ⊥ vector{c}
vector{a} ⊥ vector{d}
vector{b} ⊥ vector{c}
vector{b} ⊥ vector{d}

L_(1)={ vector{c} ; vector{d}}

Пусть

vector{x} =(x_(1);x_(2);x_(3);x_(4))

Вектор vector{x} находим из условия

vector{a} ⊥ vector{x}
vector{b} ⊥ vector{x}

{1*x_(1)+(-2)*x_(2)+1*x_(3)+3*x_(4)=0
{2*x_(1)+1*x_(2)+(-3)*x_(3)+1*x_(4)=0

Система имеет бесчисленное множество решений.

Находим одно из них

{1*x_(1)+(-2)*x_(2)+1*x_(3)+3*x_(4)=0 ( умножаем на 3)
{2*x_(1)+1*x_(2)+(-3)*x_(3)+1*x_(4)=0

{3*x_(1)+(-6)*x_(2)+3*x_(3)+9*x_(4)=0 складываем
{2*x_(1)+1*x_(2)+(-3)*x_(3)+1*x_(4)=0

{1*x_(1)+(-2)*x_(2)+1*x_(3)+3*x_(4)=0
{5*x_(1)-5x_(2)+10x_(4) ⇒ [b]x_(1)=x_(2)-5x_(4)[/b]

x_(2)=1
x_(4)=0

x_(1)=1-5*0=1
x_(3)=2x_(2)-x_(1)-3x_(4)=2*1-1-3*0=1

vector{x} =(1; 1; 1;0)
пусть это будет вектор vector{c}=(1; 1; 1;0)

Находим второе

{1*x_(1)+(-2)*x_(2)+1*x_(3)+3*x_(4)=0 ( умножаем на (-2))
{2*x_(1)+1*x_(2)+(-3)*x_(3)+1*x_(4)=0

{-2*x_(1)+4*x_(2)-2*x_(3)-6*x_(4)=0 складываем
{2*x_(1)+1*x_(2)+(-3)*x_(3)+1*x_(4)=0

{1*x_(1)+(-2)*x_(2)+1*x_(3)+3*x_(4)=0
{5*x_{2}-5*x_{3}-5*x_{4}=0 ⇒ x_(3)=x(2)-x_(4)

x_(2)=0
x_(4)=1

x_(1)=0-5*1=-5
x_(3)=2x_(2)-x_(1)-3x_(4)=2*0-(-5)-3*1=2

vector{x} =(-5; 0; 2;1) пусть это будет вектор vector{d}=(-5; 0; 2;1)

О т в е т. vector{c}=(1; 1; 1;0); vector{d}=(-5; 0; 2;1)