Задача 71310 Определить тип дифференциального...
Условие
Если возможно произвести замену для понижения порядка дифференциального уравнения, то нужно воспользоваться этим, а потом в ходе решения обязательно вернуться к исходной переменной.
Помните: в результате интегрирования дифференциального уравнения должно получиться семейство функций, зависящих от двух произвольных постоянных С1 и С2 .
Решение
Линейное однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
Составляем характеристическое уравнение:
k^2+8k+20=0
D=8^2-4*20=64-80
sqrt(D)=4i
k_(1)=(-8-4i)/2; k_(2)=(-8+4i)/2
k_(1)=-4-2i; k_(2)=-4+2i– корни [b]комплексно-сопряженные[/b]
α =-4
β =2
Общее решение однородного уравнения в этом случаем имеет вид:
y_(общее одн.)=e^(-x)*(С_(1)cos2x+C_(2)sin2x)
3.
Линейное однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
Составляем характеристическое уравнение:
11k^2+12k=0
k_(1)=0; k_(2)=-12/11– корни действительные различные
Общее решение однородного уравнения в этом случаем имеет вид:
y_(общее одн.)=С_(1)*e^(-0*x)+C_(2)*e^((-12/11)*x)
2.
[m]y``-2y`\cdot tgx=0[/m]
Дифференциальное уравнение, допускающее понижение порядка
[m]y`=z[/m]
[m]y``=z[/m]
[m]z`-2z\cdot tgx=0[/m] -дифференциальное уравнение с[i] разделяющимися [/i]переменными.
[m]dz=2z\cdot tgx dx[/m]
[m]\frac{dz}{z}=2tgx dx[/m]
Интегрируем
[m] ∫ \frac{dz}{z}=2 ∫ tgx dx[/m]
[m] ∫ \frac{dz}{z}=2 ∫\frac{sinx}{cosx} dx[/m]
[m] ∫ \frac{dz}{z}=2 ∫\frac{(-d(cosx)}{cosx} dx[/m]
[m]ln|z|=-2ln|cosx|+lnC_{1}[/m]
[m]ln|z|=ln|C_{1}cos^{-2}x|[/m]
[m]z=\frac{C_{1}}{cos^2x}[/m]
[m]y`=\frac{C_{1}}{cos^2x}[/m]
[m]y= ∫ \frac{C_{1}}{cos^2x}dx[/m]
[m]y=C_{1}tgx+C_{2}[/m] - общее решение