Задача 71309 Найти частное решение дифференциального...
Условие
Решение
Неоднородное диф. ур. 2 порядка с постоянными коэффициентами.
Решаем однородное.
y'' + 4y' + 4y = 0
Характеристическое уравнение:
k^2 + 4k + 4 = 0
(k + 2)^2 = 0
k1 = k2 = -2
y_о = (C1 + C2*x)*e^(-2x)
Теперь находим частное решение неоднородного.
Так как 2 - не корень характеристического уравнения, то:
y_н = Ae^(2x)
y'_н = 2Ae^(2x)
y''_н = 4Ae^(2x)
Подставляем в наше уравнение:
4Ae^(2x) + 4*2Ae^(2x) + 4Ae^(2x) = e^(2x)
16Ae^(2x) = e^(2x)
16A = 1
A = 1/16
y_н = 1/16*e^(2x)
Общее решение уравнения:
y = y_о + y_н = (C1 + C2*x)*e^(-2x) + 1/16*e^(2x)
y' = C2*e^(-2x) + (C1 + C2*x)e^(-2x) + 2/16*e^(2x)
y' = (C1 + C2 + C2*x)*e^(-2x) + 2/16*e^(2x)
Я нарочно написал 2/16, а не 1/8, чтобы уравнять знаменатели.
Теперь решаем задачу Коши с начальными данными.
{ y(0) = (C1 + C2*0)*e^0 + 1/16*e^0 = C1 + 1/16 = 1
{ y'(0) = (C1 + C2 + C2*0)*e^0 + 2/16*e^0 = C1 + C2 + 2/16 = -1
Решаем:
{ C1 = 1 - 1/16 = 15/16
{ 15/16 + C2 = -1 - 2/16 = -18/16
Получаем:
{ C1 = 15/16
{ C2 = -18/16 - 15/16 = -33/16
Ответ: y = (15/16 - 33/16*x)*e^(-2x) + 1/16*e^(2x)