Задача 71286 Найдите все значения a, при каждом из...
Условие
sqrt(x^2 - a^2) = sqrt(3x^2 - (3a + 1)x + a)
имеет ровно один корень на отрезке [0;1]
Решение
[m]\left\{\begin {matrix}x^2-a^2 ≥ 0\\3x^2-(3a+1)x+a ≥ 0\end {matrix}\right.[/m]
D=(3a+1)^2-4*3*a=9a^2+6a+1-12a=9a^2-6a+1=(3a-1)^2
[m]\left\{\begin {matrix}(x-a)(x+a) ≥ 0\\(x-a)(x-\frac{1}{3}) ≥0 \end {matrix}\right.[/m]
Два случая
1) если [m] \frac{1}{3} < a[/m] ⇒ [m] a >\frac{1}{3} [/m]
ОДЗ: a ∈ [m](- ∞ ;-a) \cup (a;+ ∞ )[/m]
2)
если [m] \frac{1}{3} ≥ a[/m] ⇒ [m] a ≤ \frac{1}{3} [/m]
ОДЗ: a ∈ [m](- ∞ ;-a) \cup [\frac{1}{3};+ ∞ )[/m]
Возводим обе части уравнения в квадрат
[m]x^2-a^2=3x^2-(3a+1)x+a[/m]
[m]2x^2-(3a+1)x++a^2+a=0[/m]
D=(3a+1)^2-4*2*(a^2+a)=9a^2+6a+1-8a^2-8a=a^2-2a+1=(a-1)^2
[m]x_{1}=\frac{3a+1-(a-1)}{4}[/m] или [m]x_{2}=\frac{3a+1+(a-1)}{4}[/m]
[m]x_{1}=\frac{a+1}{2}[/m] или [m]x_{2}=a[/m]
Принадлежат ли корни ОДЗ:
1) если [m] \frac{1}{3} < a< 1[/m] ⇒
[m]x_{1}=\frac{a+1}{2} ∈ (a;+ ∞ )[/m]
[m]x_{2}=a ∈ (a;+ ∞ )[/m] [/m]
2)
если [m] \frac{1}{3} ≥ a[/m] ⇒ [m] a ≤ \frac{1}{3} [/m]
ОДЗ: a ∈ [m](- ∞ ;-a) \cup [\frac{1}{3};+ ∞ )[/m]