Задача 71280 ...
Условие
5^2sin2x = (1/25)^cos(3π/2 + x)
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [3π/2 ; 3π]
Решение
[m]5^{2sin2x}=(5^{-2})^{cos(\frac{3π}{2}+x)}[/m]
[m]5^{2sin2x}=5^{-2cos(\frac{3π}{2}+x)}[/m]
[m]2sin2x=-2cos(\frac{3π}{2}+x)[/m]
[m]sin2x=-cos(\frac{3π}{2}+x)[/m]
По формулам приведения
[m]cos(\frac{3π}{2}+x)=sinx[/m]
По формуле синуса двойного угла
[m]sin2x=2sinx\cdot cosx[/m]
[m]2sinx\cdot cosx=-sinx[/m]
[m]2sinx\cdot cosx+sinx=0[/m]
[m]sinx\cdot (2cosx+1)=0[/m]
[m]sinx=0[/m] или [m]2cosx+1=0[/m]
[red][m]x=πk, k ∈ [/m][/red] [b]Z[/b] или [m]cosx=-\frac{1}{2}[/m] ⇒ [m] x= ± arccos(-\frac{1}{2})+2πn, n ∈[/m][b]Z[/b] ⇒ [red][m] x= ± \frac{2π}{3}+2πn, n ∈[/m][/red][b]Z[/b]
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [3π/2 ; 3π]
Отбор корней
[m]\frac{3π}{2} ≤ πk ≤3π , k ∈ [/m][b]Z[/b]
Делим на π
[m]\frac{3}{2} ≤ k ≤3 , k ∈ [/m][b]Z[/b]
Неравенство верно при
k=2; 3
[b]x=2π[/b]- корень уравнения, принадлежащий указанному отрезку
[b]x=3π[/b]- корень уравнения, принадлежащий указанному отрезку
[m]\frac{3π}{2} ≤ \frac{2π}{3}+2πn ≤3π ,n ∈ [/m][b]Z[/b]
Делим на π
[m]\frac{3}{2} ≤ \frac{2}{3}+2n ≤3 ,n ∈ [/m][b]Z[/b]
Вычитаем от всех частей неравенства [m] \frac{2}{3} [/m]
[m]\frac{3}{2} - \frac{2}{3}≤ \frac{2}{3} -\frac{2}{3}+2n ≤3- \frac{2}{3} ,n ∈ [/m][b]Z[/b]
[m]\frac{5}{6}≤ 2n ≤ \frac{7}{3} ,n ∈ [/m][b]Z[/b]
Неравенство верно при
n=1
[m] x= \frac{2π}{3}+2π[/m] ⇒ [m] x= \frac{8π}{3}[/m]- корень уравнения, принадлежащий указанному отрезку
[m]\frac{3π}{2} ≤- \frac{2π}{3}+2πn ≤3π ,n ∈ [/m][b]Z[/b]
Делим на π
[m]\frac{3}{2} ≤- \frac{2}{3}+2n ≤3 ,n ∈ [/m][b]Z[/b]
Прибавим ко всем частям неравенства [m] \frac{2}{3} [/m]
[m]\frac{3}{2} +\frac{2}{3}≤- \frac{2}{3} +\frac{2}{3}+2n ≤3+ \frac{2}{3} ,n ∈ [/m][b]Z[/b]
[m]\frac{13}{6}≤2n ≤ \frac{11}{3} ,n ∈ [/m][b]Z[/b]
Нет таких значений n, при которых неравенство будет верным
n=1
[m]\frac{13}{6}≤2 [/m] - неверно
n=2
[m]2\cdot 2 ≤ \frac{11}{3} [/m]- неверно
О т в е т.
б)
[b]2π; 8π/3; 3π[/b]
Все решения
