Задача 71276 Записать массу пластинки как двойной...
Условие
Построить область интегрирования.
Установить порядок интегрирования, т. е. наметить, по какой переменной будет производиться внутреннее интегрирование, а по какой – внешнее, расставить пределы интегрирования.
Составить повторный интеграл или сумму повторных интегралов, если область интегрирования придется разбивать на простые области.
Вычислить сначала внутренний интеграл по одной переменной, затем внешний интеграл по другой переменной.
Решение
внутреннее интегрирование по переменной y:
x ≤ y ≤ 2x
внешнее интегрирование по переменной х:
0 ≤ х ≤ 2
[m]m =∫ ∫_{D}\frac{2}{x+y}dxdy[/m]
[m]= ∫^{2}_{0}dx ∫^{2x}_{x} \frac{2}{x+y}dy=[/m]
[m]=∫^{2}_{0} (2ln|x+y|)|^{2x}_{x} dx=[/m]
[m]=∫^{2}_{0} (2ln|x+2x|-2ln|x+x|)dx=[/m]
[m]=∫^{2}_{0} (2ln|3x|-2ln|2x|)dx=∫^{2}_{0} 2ln|\frac{3x}{2x}|dx=2ln\frac{3}{2}∫^{2}_{0} dx=2ln\frac{3}{2}\cdot (x)|{2}_{0}=4ln\frac{3}{2}[/m]
