Задача 71275 Построить область...
Условие
Установить порядок интегрирования, т. е. наметить, по какой переменной будет производиться внутреннее интегрирование, а по какой – внешнее, расставить пределы интегрирования.
Составить повторный интеграл или сумму повторных интегралов, если область интегрирования придется разбивать на простые области.
Вычислить сначала внутренний интеграл по одной переменной, затем внешний интеграл по другой переменной.
Решение
x= ρ cos θ
y= ρ sin θ
x^2+y^2= ρ ^2cos^2 θ + ρ ^2sin^2 θ= ρ ^2*(cos^2 θ +sin^2 θ )= ρ ^2*1= ρ ^2
Уравнение [m] x^2+y^2=4x[/m]принимает вид:
ρ ^2=4ρ cos θ ⇒
ρ=4cos θ ⇒
[m]-\frac{π}{4} ≤ θ ≤ \frac{π}{2}[/m]
[m]0 ≤ ρ ≤ 4cos θ [/m]
[m]dxdy= ρ d ρ d θ [/m]
[m] ∫ ∫ _{D}xy^2dxdy= ∫^{\frac{π}{2} } _{-\frac{π}{4} }d θ ∫^{4cos θ } _{0}(ρ cos θ)\cdot ( ρ sin θ)^2 ρ d ρ =[/m]
[m]=∫^{\frac{π}{2} } _{-\frac{π}{4} }cos θ sin^2 θ ∫^{4cos θ } _{0} ρ ^4d ρ =[/m]
[m]=∫^{\frac{π}{2} } _{-\frac{π}{4} }cos θ sin^2 θ (\frac{ ρ^5}{5})| ^{4cos θ } _{0} =[/m]
[m]=∫^{\frac{π}{2} } _{-\frac{π}{4} }cos θ sin^2 θ \frac{ (4cos θ) ^5}{5}d θ =\frac{4^5}{5}∫^{\frac{π}{2} } _{-\frac{π}{4} }cos^6 θsin^2 θ d θ=[/m]
применяем формулы понижения степени:
[m]=\frac{4^5}{5}∫^{\frac{π}{2} } _{-\frac{π}{4} }(\frac{1-cos2 θ }{2})^3 \frac{1-cos2 θ }{2} d θ=[/m]
[m]=\frac{4^5}{5}\cdot \frac{1}{16}∫^{\frac{π}{2} } _{-\frac{π}{4} }(1-3cos2 θ+3cos^22 θ-cos^32 θ)(1-cos2 θ)d θ=[/m]
[m]=\frac{4^3}{5}∫^{\frac{π}{2} } _{-\frac{π}{4} }(1-3cos2 θ+3cos^22 θ-cos^32 θ-cos2 θ+3cos^22 θ-3cos^32 θ+cos^42 θ)d θ=[/m]
применяем формулы понижения степени:
[m]=\frac{64}{5}∫^{\frac{π}{2} } _{-\frac{π}{4} }(1-4cos2 θ+6\frac{1+cos4 θ}{2}-cos^32 θ-3cos^32 θ+(\frac{1+cos4 θ}{2})^2)d θ=[/m]
решение на полстраницы еще
( см интегрирование тригонометрических функций)...
...
О т в е т. [m]\frac{15π}{512}[/m]
