Задача 71272 ...
Условие
Решение
В интеграле [m] ∫^{1} _{0}\frac{1}{x^3+2x}dx[/m] особая точка [m]x=0[/m] Это интеграл второго рода
Интеграл [m] ∫ ^{+ ∞}_{1} \frac{1}{x^3+2x}dx[/m] с бесконечным верхним пределом. Это интеграл первого рода
[m]x^3+2x[/m] ∼ [m]x^3[/m] при x → + ∞
[m]\frac{1}{x^3+2x}[/m] ∼ [m]\frac{1}{x^2}[/m] при x → + ∞
Интеграл [m] ∫ ^{+ ∞}_{1} \frac{1}{x^2}dx[/m] сходится, значит и [m] ∫ ^{+ ∞}_{1} \frac{1}{x^3+2x}dx[/m] сходится по признаку сравнения
Под знаком интегралов дробь, поэтому раскладываем дробь на простейшие.
[m] ∫^{1} _{0}\frac{1}{x^3+2x}dx[/m]
Под знаком интегралов дробь, поэтому раскладываем дробь на простейшие.
Раскладываем знаменатель на множители
x^3+2x=x(x^2+2)
Применяем метод неопределенных коэффициентов:
[m]\frac{1}{x^3+2x}=\frac{A}{x}+\frac{Mx+N}{x^2+2}[/m]
[m]1= A(x^2+2)+(Mx+N)x[/m]
A+M=0
N=0
2A=1
A=1/2
M=-1/2
[m] ∫^{1} _{0}(\frac{\frac{1}{2}}{x}+\frac{(-\frac{1}{2})x}{x^2+2})dx=lim_{ ε → +0}∫^{1} _{ ε }(\frac{\frac{1}{2}}{x}+\frac{(-\frac{1}{2})x}{x^2+2})dx=lim_{ ε → +0}(\frac{1}{2}ln|x|-\frac{1}{4}ln|x^2+2|)|^{1} _{ ε }=lim_{ ε → +0}(\frac{1}{2}ln1-\frac{1}{2}ln ε-\frac{1}{4}ln1+\frac{1}{4}ln| ε^2+1|)= ∞ [/m]
Интеграл расходится.
Значит и данный интеграл расходится как сумма сходящегося и расходящегося