Задача 71250 sqrt(1-x^2) > a - x Найти все значения...
Условие
Найти все значения a, при которых неравенство имеет решение.
математика 10-11 класс
145
Решение
★
√1–x^2 - a + x > 0
Заметим, что √1–x^2 является неотрицательным выражением при любом значении x, поэтому можем записать:
(1–x^2) - (a – x)^2 > 0
1 – x^2 – a^2 + 2ax – x^2 + 2ax – x^2 > 0
–3x^2 + 2ax + 1 – a^2 > 0
3x^2 – 2ax – 1 + a^2 < 0
Найдем дискриминант этого квадратного трехчлена:
D = (–2a)^2 – 4·3·(–1 + a^2) = 4a^2 + 12 – 12a^2 = 4(3 – a^2)
Чтобы неравенство имело решение, необходимо, чтобы дискриминант был положительным:
4(3 – a^2) > 0
3 – a^2 > 0
a^2 < 3
–√3 < a < √3
Ответ: все значения a из интервала (–√3; √3).