Задача 71237 Найти длину дуги кривой, которая задана...

641174128cfb9210f616c190

05.05.2023 08:43:32

Найти длину дуги кривой, которая задана y=ln(x^3-1), x принадлежит [2,3].

5f3ea7e3faf909182968ddd9

07.05.2023 19:37:00

★

[m]f(x)=ln(x^3-1)[/m]

[m]f`(x)=\frac{1}{x^3-1}\cdot (x^3-1)`[/m]

[m]f`(x)=\frac{3x^2}{x^3-1}[/m]


Тогда

[m]L= ∫ ^{3}_{2}\sqrt{1+(\frac{3x^2}{x^3-1})^2} dx=∫ ^{3}_{2}\sqrt{1+\frac{9x^4}{(x^3-1)^2}}dx=∫ ^{3}_{2}\sqrt{\frac{(x^3-1)^2+9x^4}{(x^3-1)^2}}dx [/m]

Интеграл не берущийся в элементарных функциях

Уточняйте условие задачи

6454b6c5a6eadc7473eb9ba0

05.05.2023 20:29:57

Для вычисления длины дуги кривой необходимо воспользоваться формулой:
L=∫ab​1+(y′)2​dx,
где y′=dxdy​.
Таким образом, для данной кривой y=ln(x3−1), y′=x3−13x2​.
Подставляя значения в формулу, получаем:
L=∫23​1+(x3−13x2​)2​dx≈4.06.
Таким образом, длина дуги кривой равна примерно 4.06.