Задача 71234 Решить в целых числах уравнение a^2b =...
Условие
Решение
a^2*b - 2000a - b = 0
Решаем, как квадратное уравнение относительно а.
D/4 = (-1000)^2 - 4b(-b) = 1000000 + 4b^2 =
= 4(250000 + b^2)
Во-первых, D/4 > 0 при любом а, поэтому это уравнение всегда имеет 2 действительных корня.
a1 = (1000 - 2sqrt(250000 + b^2))/b
a2 = (1000 + 2sqrt(250000 + b^2))/b
Чтобы корни были целыми, D/4 должно быть квадратом.
250000 + b^2 = k^2
250000 = k^2 - b^2
250000 = (k - b)(k + b)
Разложим 250000 на множители:
250000 = 1*2^4*5^6
Представим его как произведение двух чисел:
250000 = 1*250000 = 2*125000 = 4*62500 = 5*50000
250000 = 8*31250 = 10*25000 = 16*15625 = 20*12500
250000 = 25*10000 = 50*5000 = 100*2500 = 200*1250
250000 = 400*625 = 500*500
Это все варианты разложения.
Теперь надо на каждый вариант решить 4 системы:
1)
{ k - b = 1
{ k + b = 250000
2)
{ k - b = -1
{ k + b = -250000
3)
{ k - b = 250000
{ k + b = 1
4)
{ k - b = -250000
{ k + b = -1
И посмотреть, в каких решениями будут целые k и b.
Решаем 1 систему, складываем уравнения:
k - b + k + b = 1 + 250000
2k = 250001
k = 250001/2 = 125000,5 - нецелое.
Значит, эти 4 системы нам не подходят.
И также можно выкинуть все варианты, в которых одно число четное, а другое нечетное.
Подумайте, почему!
Остаются варианты, где оба числа четные.
250000 = 2*125000 = 4*62500 = 8*31250 = 10*25000
250000 = 20*12500 = 50*5000 = 100*2500 = 200*1250
250000 = 500*500
Решим другой набор:
1)
{ k - b = 2
{ k + b = 125000
2)
{ k - b = -2
{ k + b = -125000
3)
{ k - b = 125000
{ k + b = 2
4)
{ k - b = -125000
{ k + b = -2
Опять решаем 1 систему сложением:
2k = 125002
k = 62501; b = k - 2 = 62499
Теперь находим два решения для а:
a1 = (1000 - 2sqrt(250000 + 62499^2))/62499 =
= -124002/62499 = -1,98 - нецелое
a2 = (1000 + 2sqrt(250000 + 62499^2))/62499
= -124002/62499 = 2,016 - нецелое
Значит, в этом варианте решений тоже нет.
И потом также остальные варианты.
В общем, я проверил все варианты, целые решения получаются только в одном:
250000 = 500*500
1)
{ k - b = 500
{ k + b = 500
k = 500; b = 0; a = 0
2)
{ k - b = -500
{ k + b = -500
k = -500; b = 0; a = 0
Ответ: a = 0; b = 0