Задача 71207 Решить дифференциальное уравнение и...
Условие
Решение
y_(общее неод)=y_(общее однород)+y_(частное неод)
y_(общее однород)=C_(1)*e^(0x)+C_(2)*xe^(0x)+C_(3)*x^2*e^(0x)+e^(-2x)*(C_(4)cos3x+C_(5)sin3x)+e^(-2x)*x(C_(6)cos3x+C_(7)sin3x)+C_(8)*e^(6x)+C_(9)*(cos9x+sin9x)
y_(общее однород)=C_(1)+C_(2)*x+C_(3)*x^2+e^(-2x)*(C_(4)cos3x+C_(5)sin3x)+e^(-2x)*x(C_(6)cos3x+C_(7)sin3x)+C_(8)*e^(6x)+C_(9)*(cos9x+sin9x)
y_(частное неод)=(Mx^3+Nx^2+Kx+P)*x^3*x*e^(6x)
Все решения
10 порядка с постоянными коэффициентами.
Характеристическое уравнение выглядит так:
λ^3*((λ+2-3i)(λ+2+3i))^2*(λ - 6)*(λ^2 + 81) = 0
(λ+2-3i)(λ+2+3i) = λ^2 + 4λ + 13
Получаем:
λ^3*( λ^2 + 4λ + 13)^2*(λ - 6)*(λ^2 + 81) = 0
Раскрываем скобки и после упрощения получаем:
λ^(10) + 2λ^9 + 75λ^8 + 14λ^7 - 941λ^6 -
- 13002λ^5 - 36855λ^4 - 82134λ^3 = 0
Само дифференциальное уравнение выглядит так:
y^((x)) + 2y^((ix)) + 75y^((viii)) + 14y^((vii)) - 941y^((vi)) -
- 13002y^((v)) - 36855y^((iv)) - 82134y''' = (x^3+5x-6)e^(6x)
Решение однородного уравнения выглядит так:
y_(о) = C1+C2*x + C3*x^2 + e^(-2x)(C4*cos 3x + C5*sin 3x) +
+ x*e^(-2x)(C6*cos 3x + C7*sin 3x) + C8*e^(6x) + C9*cos 9x +
+ C10*sin 9x
Теперь про частное решение неоднородного уравнения.
Во-первых, λ = 0 - корень характеристического уравнения, причем 3 порядка, поэтому сначала пишем x^3.
Во-вторых, λ = 6 - тоже корень, поэтому будет x*e^(6x).
В-третьих, решаем кубическое уравнение.
x^3 + 5x - 6 = 0
x^3 - x^2 + x^2 - x + 6x - 6 = 0
(x - 1)(x^2 + x + 6) = 0
x1 = 1; x2,3 = (-1 ± sqrt(23)*i)/2
Все три корня не равны ни одной λ.
Значит, решением этой части будет кубический многочлен.
Частное решение неоднородного уравнения выглядит так:
y_(н) = x^3*(A1x^3 + A2x^2 + A3x + A4)*x*e^(6x)
y_(н) = x^4*e^(6x)*(A1x^3 + A2x^2 + A3x + A4)
Ответ: y_(о) = C1+C2*x + C3*x^2 + e^(-2x)(C4*cos 3x + C5*sin 3x) + x*e^(-2x)(C6*cos 3x + C7*sin 3x) + C8*e^(6x) +
+ C9*cos 9x + C10*sin 9x
y_(н) = x^4*e^(6x)*(A1x^3 + A2x^2 + A3x + A4)