Задача 71199 Укажите и охарактеризуйте все точки...
Условие
Решение
{x^2-49≠ 0 ⇒ x ≠ ± 7;[i] по условию[/i] x ≤ 0 ⇒ [b]x ≠ -7[/b] не исключаем точку x=7
{x-8 ≠0 ⇒ x ≠ 8[i] по условию[/i] x > 0 ⇒ [b]x ≠8[/b]
{x+10 ≠ 0 ⇒ x ≠ -10[i] по условию[/i] x > 0 ⇒ не исключаем точку x=-10
Функция непрерывна во всех точках, [b]кроме х=-7; x=8[/b] как частное непрерывных функций
Исследуем точку
[b]х=-7[/b]
Находим предел слева,
lim_(x →-7-0)f(x)=lim_(x →-7 -0)[m]\frac{x+7}{(x-7)(x+7)}=[/m]lim_(x →-7 -0)[m]\frac{1}{x-7}=-\frac{1}{14}[/m]
Находим предел справа,
lim_(x →-7+0)f(x)=lim_(x →-7 +0)=[m]\frac{x+7}{(x-7)(x+7)}=[/m]lim_(x →-7 -0)[m]\frac{1}{x-7}=-\frac{1}{14}[/m]
Предел слева равен пределу справа.
Функция имеет предел в точке, но не определена в этой точке
Значит,
x=-7 - [i]точка устранимого разрыва.[/i]
Исследуем точку
[b]х=8[/b]
Находим предел слева,
lim_(x →8-0)f(x)=lim_(x →8 -0)[m]\frac{sin(x-8)}{(x-8)(x+10)}=[/m]lim_(x →8 -0)[m]\frac{sin(x-8)}{x-8}\cdot[/m] lim_(x →8 -0)[m]\frac{1}{x+10}=\frac{1}{18}[/m]
Находим предел справа,
lim_(x →8+0)f(x)=lim_(x →8 +0)=[m]\frac{sin(x-8)}{(x-8)(x+10)}=[/m]lim_(x →8 -0)[m]\frac{sin(x-8)}{x-8}\cdot[/m] lim_(x →8 -0)[m]\frac{1}{x+10}=\frac{1}{18}[/m]
Предел слева равен пределу справа.
Функция имеет предел в точке, но не определена в этой точке
Значит,
x=8 - [i]точка устранимого разрыва.[/i]