Задача 71184 Пластинка D ограничена кривыми: x^(2) +...
Условие
математика ВУЗ
101
Решение
★
Полярные координаты
x= ρ cos θ
y= ρ sin θ
x^2+y^2=(ρ cos θ)^2 +(ρ sin θ)^2= ρ ^2
x^2+y^2=4 ⇒ ρ ^2=4 ⇒ ρ =2
x^2+y^2=9 ⇒ ρ ^2=9 ⇒ ρ =3
[m]2 ≤ ρ ≤ 3[/m]
x ≤ 0; y ≥ 0- вторая четверть, значит
[m]\frac{π}{2} ≤ θ ≤ π[/m]
[m]= ∫^{π}_{\frac{π}{2}}d θ ∫^{3} _{2}\frac{ ρsin θ -4 ρ cos θ }{ ρ^2 } ρ d ρ = ∫^{π}_{\frac{π}{2}}d θ ∫^{3} _{2}(sin θ -4 cos θ) d ρ =[/m]
[m]= ∫^{π}_{\frac{π}{2}}(sin θ -4 cos θ)( ρ)| ^{3} _{2}d θ =(3-2)(-cos θ -4sin θ )|^{π}_{\frac{π}{2}}=-cos π - 4sin π+cos\frac{π}{2}+4sin\frac{π}{2}=-(-1)-4\cdot 0+0+4\cdot 1=5 [/m]