Задача 71154 y^2((y')^2+1) = 1...

6450fa292b8ac22c92dc3324

02.05.2023 14:56:56

y^2((y')^2+1) = 1

642b4bbcdcb4ec2a23cfa7cf

02.05.2023 16:28:19

★

Это дифференциальное уравнение, которое может быть решено с использованием разделения переменных. Мы можем начать с деления обеих сторон на y^2, чтобы получить:
(y')^2 + 1/y^2 = 1/y^4
Далее мы можем вычесть (y')^2 с обеих сторон, чтобы получить:
1/y^2 – (y')^2 = 1/y^4 – (y')^2
Затем мы можем разложить левую сторону на множители, используя разницу квадратов:
(1/y + y') (1/y – y') = 1/y^4 – (y')^2
Наконец, мы можем интегрировать обе стороны относительно x:
∫(1/y + y') dx = ∫(1/y^4 – (y')^2) dx
Левую часть можно интегрировать, используя подстановку u = 1/y, du/dx = –y'/y^2:
∫(1/y + y') dx = ∫(du/dx – y') dx = u – y = 1/y – y
Правая часть может быть интегрирована с помощью подстановки u = y':
∫(1/y^4 – (y')^2) dx = ∫(1/y^4 – u^2) dx = –1/(3y^3) – (1/3)u^3 + C
Собрав все это вместе, мы получаем:
1/y – y = –1/(3y^3–1/(3y^3) – (1/3)u^3 + C
Подставляя обратно в вместо u = y', мы получаем:
1/y – y = –1/(3y^3) – (1/3)(y')^3 + C