Задача 71129 Найти решение задачи Коши y''+3y'-10y =...
Условие
y''+3y'-10y = -20e^xsin2x, y(0) = 0, y'(0) = 8
Решение
Линейное неоднородное уравнение 2 порядка с постоянными коэффициентами.
Решаем однородное уравнение.
Характеристическое уравнение:
k^2 + 3k - 10 = 0
(k + 5)(k - 2) = 0
y_(одн) = C1*e^(-5x) + C2*e^(2x)
Находим частное решение неоднородного уравнения.
y_(неодн) = -20e^(x)*(B1*cos(2x) + B2*sin(2x))
Находим y'_(неодн) и y''_(неодн).
y'_(неодн) = -20[e^(x)*(B1*cos(2x) + B2*sin(2x)) + e^(x)*(-2B1*sin(2x) + 2B2*cos(2x))]
y'_(неодн) = -20e^(x)*[(B1 + 2B2)*cos(2x) + (-2B1 + B2)*sin(2x)]
y''_(неодн) = -20[e^x*((B1 + 2B2)*cos(2x) + (-2B1 + B2)*sin(2x)) + e^x*(-2(B1 + 2B2)*sin(2x) + 2(-2B1 + B2)*cos(2x))]
y''_(неодн) = -20e^x*[(-3B1 + 4B2)*cos(2x) + (-4B1+5B2)*sin(2x)]
Подставляем всё это в наше уравнение.
-20e^x*[(-3B1 + 4B2)*cos(2x) + (-4B1 + 5B2)*sin(2x)] +
+ 3(-20)e^(x)*[(B1 + 2B2)*cos(2x) + (-2B1 + B2)*sin(2x)] -
- 10(-20)e^(x)*(B1*cos(2x) + B2*sin(2x)) = -20e^(x)*sin(2x)
Вносим коэффициенты под скобки.
-20e^x*[(-3B1 + 4B2)*cos(2x) + (-4B1 + 5B2)*sin(2x)] -
- 20e^(x)*[3(B1 + 2B2)*cos(2x) + 3(-2B1 + B2)*sin(2x)] -
- 20e^(x)*(-10B1*cos(2x) - 10B2*sin(2x)) = -20e^(x)*sin(2x)
Приводим подобные:
-20e^x*[(-3B1 + 4B2 + 3B1 + 6B2 - 10B1)*cos(2x) +
+ (-4B1 + 5B2 - 6B1 + 3B2 - 10B2)*sin(2x)] = -20e^(x)*sin(2x)
Упрощаем:
-20e^x*[(-10B1 + 10B2)*cos(2x) + (-10B1 - 2B2)*sin(2x)] = -20e^(x)*sin(2x)
Составляем систему. Отдельно коэффициенты при cos(2x), отдельно при sin(2x).
{ -10B1 + 10B2 = 0
{ -10B1 - 2B2 = 1
Решаем:
{ B2 = B1
{ -10B1 - 2B1 = 1
Получаем:
B1 = B2 = -1/12
y_(неодн) = -20/(-12)e^(x)*(cos(2x) + sin(2x))
y_(неодн) = 5/3*e^(x)*(cos(2x) + sin(2x))
Окончательное решение неоднородного уравнения:
y = y_(одн) + y_(неодн)
[b]y = C1*e^(-5x) + C2*e^(2x) + 5/3*e^(x)*(cos(2x) + sin(2x))[/b]
y' = -5C1*e^(-5x) + 2C2*e^(2x) + 5/3*e^(x)*(cos(2x) + sin(2x)) + 5/3*e^(x)*(-2sin(2x) + 2cos(2x))
y' = -5C1*e^(-5x) + 2C2*e^(2x) + 5/3*e^(x)*(3cos(2x) - sin(2x))
Теперь решаем задачу Коши.
y(0) = 0; y'(0) = 8
{ y(0) = C1*e^0 + C2*e^0 + 5/3*e^0*(cos(0) + sin(0))
{ y' = -5C1*e^0 + 2C2*e^0 + 5/3*e^0*(3cos(0) - sin(0))
Решаем:
{ 0 = C1 + C2 + 5/3(1 + 0)
{ 8 = -5C1 + 2C2 + 5/3(3*1 - 0)
Упрощаем:
{ C1 + C2 + 5/3 = 0
{ -5C1 + 2C2 + 5 = 8
Решаем заменой:
{ C2 = -C1 - 5/3
{ -5C1 - 2C1 - 10/3 = 3
-7C1 = 3 + 10/3 = 19/3
C1 = -19/21
C2 = -C1 - 5/3 = -19/21 - 35/21 = -54/21
Я мог бы сократить -54/21 = -18/7, но оставлю одинаковые знаменатели у C1 и C2, и напишу 5/3 = 35/21.
Решение задачи Коши:
[b]y = -19/21*e^(-5x) + -54/21*e^(2x) + 35/21*e^(x)*(cos(2x) + sin(2x))[/b]