Задача 71127 Найти общее решение системы...

6355a2d83db1a168cec87f02

30.04.2023 14:48:38

Найти общее решение системы дифференциальных уравнений

{ dx/dt = 5x+4y
{ dy/dt = -2x+11

626fab9a354ab65fb2f43abb

30.04.2023 21:20:33

★

{ x'_t = 5x + 4y
{ y'_t = - 2x + 11y
Выражаем y в 1 уравнении
{ y = 1/4*x' - 5/4*x
{ y' = - 2x + 11y
Берем производную в 1 уравнении.
Во 2 уравнение подставляем y.
{ y' = 1/4*x'' - 5/4*x'
{ y' = - 2x + 11(1/4*x' - 5/4*x)
Приравниваем правые части друг к другу.
1/4*x'' - 5/4*x' = - 2x +11/4*x' - 55/4*x
Переносим всё налево и умножаем на 4.
x'' - 5x' + 8x - 11x' + 55x = 0
x'' - 16x' + 64x = 0
Получили однородное уравнение 2 порядка с постоянными коэф.
Характеристическое уравнение:
k^2 - 16k + 64 = 0
(k - 8)^2 = 0
k1 = k2 = 8
x(t) = (C1*t + C2)*e^(8t)
x'(t) = C1*e^(8t) + (C1*t + C2)*8e^(8t)
x'(t) = (C1 + 8C1*t + 8C2)*e^(8t)
Подставляем x и x' в 1 уравнение системы:
y = 1/4*x' - 5/4*x
y = (C1/4 + 2C1*t + 2C2)*e^(8t) - (5/4*C1*t + 5/4*C2)*e^(8t)
y = (C1/4 + 3/4*C2 + 3/4*C1*t)*e^(8t)

Ответ:
x(t) = (C1*t + C2)*e^(8t)
y(t) = (3/4*C1*t + C1/4 + 3/4*C2)*e^(8t)