Задача 71122 неопределенный интеграл (cos^3 x) /...

644e280bff41320ed6767ca2

30.04.2023 11:45:47

неопределенный интеграл
(cos^3 x) / (4sin^2 x-1)

5f3ea7e3faf909182968ddd9

01.05.2023 10:15:04

★

[m] ∫ \frac{cos^3x}{4sin^2x-1}dx=∫ \frac{cosx\cdot cos^2x}{4sin^2x-1}dx=∫ \frac{cosx\cdot (1-sin^2x)}{4sin^2x-1}dx=[/m]

u=sinxx

тогда

du=cosxdx

[m]= ∫ \frac{1-u^2}{4u^2-1}du[/m]

Неправильная дробь.

Выделяем целую часть

[m]= -\frac{1}{4}∫ \frac{u^2-1}{u^2-\frac{1}{4}}du=-\frac{1}{4} ∫ \frac{u^2-\frac{1}{4}-\frac{3}{4}}{u^2-\frac{1}{4}}du= [/m]

[m]=-\frac{1}{4} ∫ \frac{u^2-\frac{1}{4}}{u^2-\frac{1}{4}}du+\frac{3}{16} ∫\frac{1} {u^2-\frac{1}{4}}du=-\frac{1}{4} ∫du+\frac{3}{16}∫\frac{1} {u^2-\frac{1}{4}}du=-\frac{1}{4}u+\frac{3}{16}\cdot \frac{1}{2\cdot \frac{1}{2}} ln|\frac{u-\frac{1}{2}}{u+\frac{1}{2}}|+C [/m]

[m]=-\frac{1}{4}sinx+\frac{3}{16}\cdot ln|\frac{sinx-\frac{1}{2}}{sinx+\frac{1}{2}}|+C [/m]