Задача 71110 z = xy + xe^(y/x) доказать что ......
Условие
Решение
[m]\frac{ ∂z }{ ∂x }=(xy+x\cdot e^{\frac{y}{x}})`_{x}=y\cdot (x)`_{x}+x`_{x}\cdot e^{\frac{y}{x}}+x\cdot (e^{\frac{y}{x}})`_{x}
=y+e^{\frac{y}{x}}+x\cdot e^{\frac{y}{x}}\cdot (\frac{y}{x})`_{x}=y+e^{\frac{y}{x}}+x\cdot e^{\frac{y}{x}}\cdot y\cdot (-\frac{1}{x^2})=y+e^{\frac{y}{x}}-\frac{y}{x}\cdot e^{\frac{y}{x}}[/m]
[m]\frac{ ∂z }{ ∂y }=(xy+x\cdot e^{\frac{y}{x}})`_{y}=x\cdot (y)`_{y}+x\cdot e^{\frac{y}{x}}\cdot (\frac{y}{x})`_{y}=x+x\cdot e^{\frac{y}{x}}\cdot \frac{1}{x}\cdot y`=x+ e^{\frac{y}{x}} [/m]
Тогда
[m]x\frac{ ∂z }{ ∂x }+y\frac{ ∂z }{ ∂y }=x\cdot(y+e^{\frac{y}{x}}-\frac{y}{x}\cdot e^{\frac{y}{x}})+y\cdot (x+ e^{\frac{y}{x}})=xy+ x\cdot e^{\frac{y}{x}}-y\cdot e^{\frac{y}{x}}+xy+y\cdot e^{\frac{y}{x}}=xy+(xy+xe^{\frac{y}{x}})=xy+z[/m]
[m]xy+z=xy+z[/m] -верно