Задача 71098 2-3 задание...
Условие
Решение
a)
f`(x)=(x^4-8x^3+24x)`=4x^3-24x^2+24
f``(x)=(f`(x))`=(4x^3-24x^2+24)`=12x^2-48x
f``(x)=0
12x^2-48x=0
12x*(x-4)=0
x=0 или x=4
Знак второй производной:
___+___ (0) ___-___ (4) __+__
x=0; x=4 - точки перегиба, вторая производная меняет знак
f``(x)>0 на (- ∞ ;0) и на (4;+∞ )
Функция выпукла вниз ( ∪) на (- ∞ ;0) и на (4;+∞ )
f``(x)< на (0 ;4)
Функция выпукла вверх ( ∩) на (0 ;4)
б)
f`(x)=(3x^5-5x^4-60x^3+6x-3)`=15x^4-20x^3-180x^2+6
f``(x)=(f`(x))`=(15x^4-20x^3-180x^2+6)`=60x^3-60x^2-360x
f``(x)=0
60x^3-60x^2-360x=0
60x*(x^2-x-6)=0
x=0 или D=25; x=-2;x=3
Знак второй производной:
_-____ (-2)___+___ (0) ___-___ (3) __+__
x=-2; x=0; x=3 - точки перегиба, вторая производная меняет знак
f``(x)>0 на (- 2;0) и на (3;+∞ )
Функция выпукла вниз ( ∪) (- 2;0) и на (3;+∞ )
f``(x)< на(- ∞;0) и на (0;3 )
Функция выпукла вверх ( ∩) на(- ∞;0) и на (0;3 )
в)
f`(x)=((x^2)`*(9-x^2)-x^2*(9-x^2)`)/(9-x^2)^2
f`(x)=18x/(9-x^2)^2
f``(x)=(18x/(9-x^2)^2)`=(18*(9-x^2)^2-18x*(2*(9-x^2)*(-2x)))/(9-x^2)^4
f``(x)=54*(3+x^2)/(9-x^2)^3
f``(x) ≠ 0
Знак второй производной на области определения:
_+____ (-3)____-___ (3) __+__
f``(x)>0 на (- ∞ ;0) и на (4;+∞ )
Функция выпукла вниз ( ∪) на (- ∞ ;0) и на (4;+∞ )
f``(x)< на(- 3;3) и на (0;3 )
Функция выпукла вверх ( ∩) на(- 3;3) и на (0;3 )
[b]2.[/b]
См. теорему в приложении
Если f``(x) < 0 для всех х ∈( - ∞ ;+ ∞ ) , то функция выпукла вверх на ( - ∞ ;+ ∞ )
Найдем f``(x).
f`(x)=(sin3x-4x^2)`=(cos3x)*(3x)`-4*(x^2)`=3cos3x-8x
f``(x)=(f`(x))`=(3cos3x-8x)`=3*(cos3x)`-8*(x)`=3*(-sin3x)*(3x)`-8*1=-9sin3x-8
-1 ≤ sin3x ≤ 1
-9 ≤ 9 sin3x ≤ 9
-9 ≤ -9sin3x ≤ 9
-9-8 ≤ -9sin3x-8 ≤ 9-8
-17 ≤ -9sin3x-8 [b]≤ 1[/b]
Hеверно, что функция выпукла вверх на[b] ( -∞ ;+ ∞ )[/b],
вторая производная может быть и положительной
( см. рис.)
Эти участки выделены на рисунке...
