Задача 71056 Решить дифференциальное уравнение:...
Условие
Решение
[m]y' + y \cdot \frac{3x^2}{x^3+1} = \frac{1}{x^2}[/m]
Неоднородное уравнение 1 порядка. Решается заменой:
y = u*v; y' = u'*v + u*v'
[m]u'v + uv' + uv \cdot \frac{3x^2}{x^3+1} = \frac{1}{x^2}[/m]
Выносим u за скобки.
[m]u'v + u \cdot (v' + v \cdot \frac{3x^2}{x^3+1}) = \frac{1}{x^2}[/m]
Скобку приравниваем к 0:
[m]\frac{dv}{dx} + v \cdot \frac{3x^2}{x^3+1} = 0[/m]
Это уравнение с разделяющимися переменными:
[m]\frac{dv}{v} = -\frac{3x^2}{x^3+1} \cdot dx[/m]
Правая часть решается заменой: t = x^3 + 1; dt = 3x^2 dx
dv/v = -dt/t
ln |v| = -ln |t| = ln |1/t|
v = 1/t = 1/(x^3 + 1)
Подставляем в наше уравнение:
[m]u' \cdot \frac{1}{x^3 + 1} + u \cdot 0 = \frac{1}{x^2}[/m]
[m]u' \cdot \frac{1}{x^3 + 1} = \frac{1}{x^2}[/m]
[m]u' = \frac{x^3 + 1}{x^2}[/m]
[m]u' = x + \frac{1}{x^2}[/m]
Берем интеграл:
u = x^2/2 - 1/x + C
Возвращаемся к переменной y:
y = u*v = (x^2/2 - 1/x + C)*1/(x^3 + 1)
[m]y = \frac{x^2/2 - 1/x + C}{x^3 + 1} [/m]
[m]y = \frac{x^3 - 2 + 2Cx}{2x(x^3 + 1)}[/m]