Задача 71055 Через точку M (1,0,7) параллельно...
Условие
Решение
Дана прямая L: (х – 1)/4 = (у – 3)/2 = z/1.
Провести прямую (AM) через точку М так, чтобы она была параллельна плоскости α и пересекалась с прямой L.
Общий канонический вид такой прямой:
(x - 1)/m = (y - 0)/n = (z - 7)/p
1) Если прямая параллельна плоскости, то ее направляющий вектор прямой перпендикулярен нормальному вектору плоскости.
Нормальный вектор плоскости α : [b]a[/b](3; -1; 2)
Направляющий вектор прямой [b]b[/b](m; n; p)
Условие перпендикулярности векторов в пространстве:
i(a)*i(b) + j(a)*j(b) + k(a)*k(b) = 0
3m - 1n + 2p = 0
2) Если две прямые пересекаются, то выполнены равенства:
{ (х – 1)/4 = (x - 1)/m
{ (у – 3)/2 = y/n
{ z/1 = (z - 7)/p
Из 1-го уравнения системы сразу получаем m = 4.
Остальные уравнения упрощаем:
{ n(y - 3) = 2y
{ pz = z - 7
Подставляем m = 4 в 1 условие:
3*4 - n + 2p = 0
n = 2p + 12
Подставляем в систему:
{ (2p + 12)(y - 3) = 2y
{ p = (z - 7)/z
Решаем. 1 уравнение сокращаем на 2:
{ p(y - 3)+ 6y - 18 = y
{ p = (z - 7)/z
Выделяем p в 1 уравнении:
{ p = (18 - 5y)/(y - 3)
{ p = (z - 7)/z
Приравниваем правые части:
(18 - 5y)/(y - 3) = (z - 7)/z
z(18 - 5y) = (z - 7)(y - 3)
18z - 5yz = yz - 7y - 3z + 21
7y - 21 = 6yz - 21z
21z - 21 = 6yz - 7y
21(z - 1) = y(6z - 7)
y = 21(z - 1)/(6z - 7)
Простейший вариант:
z = 1; y = 0
p = (z - 7)/z = (1 - 7)/1 = -6;
n = 2p + 12 = 2*(-6) + 12 = 0
m = 4, как мы уже знаем.
Получили уравнение:
(AM) : (x - 1)/4 = y/0 = (z - 7)/(-6)
0 в знаменателе здесь не является нарушением правил.
Он означает, что эта прямая перпендикулярна оси Oy.