Задача 71052 ...

641174128cfb9210f616c190

27.04.2023 10:58:40

Интеграл ∫ dx/x^3+2x

5f3ea7e3faf909182968ddd9

27.04.2023 11:06:45

★

[m]\frac{1}{x^3+2x}[/m] - правильная рациональная дробь

Раскладываем знаменатель на множители:

[m]x^3+2x=x(x^2+2)[/m]

Раскладываем дробь на простейшие методом неопределенных коэффициентов:

[m]\frac{1}{ x(x^2+2)}=\frac{A}{x}+\frac{Mx+N}{x^2+2}[/m]

Приводим дроби справа к общему знаменателю и приравниваем числители

[m]1=Ax^2+2A+Mx^2+Nx[/m]- равенство двух многочленов

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях переменной

слева можем написать так:

[m]0x^2+0x+1=(A+M)x^2+Nx+2A[/m]

2A=1

A=1/2

N=0

M=-A=-(1/2)

[m] ∫ \frac{dx}{ x(x^2+2)}=(1/2) ∫ \frac{dx}{x}+ ∫ \frac{(1/2)x}{x^2+2}dx=(1/2)ln|x|+(1/4)ln|x^2+2|+C[/m]