Задача 71038 Решить дифференциальное уравнение:...
Условие
y'+(2y/sin2x) =cos x
Решение
y`+p(x)y=q(x)
Решаем методом Бернулли.
Находим решение в виде произведения двух функций:
y=u*v
y`=u`*v+u*v`
Подставляем в уравнение
u`*v+u*v`-(2/sin2x)*u*v=cosx
Группируем
u`*v+u*(v`-(2/sin2x)*v)=cosx
Условия на функцию v ( пусть выражение в скобках равно 0)
v`-(2/sin2x)*v=0
тогда
u`*v=cosx
Решаем первое уравнение с разделяющимися переменными
v`v`-(2/sin2x)*v=0
dv/v=2dx/sin2x ⇒ ∫ dv/v= ∫ d(2x)/sin2x
ln|v|=ln|tgx|
v=tgx
Подставляем во второе
u`*v=cosx
u`*tgx=cosx
u`=cos^2x/sinx
u= ∫ cos^2xdx/sinx
cos^2x=1-sin^2x
u= ∫ (1/sinx) dx- ∫sinxdx
u=ln|tg(x/2)|+cosx+C
y=u*v
[b]y=(ln|tg(x/2)|+cosx+C)*tgx[/b]