Задача 71035 Решить систему: y'=5y+3z z'=4y+z....
Условие
z'=4y+z. Заранее спасибо
Решение
{ z' = 4y + z
Здесь y и z - это функции от x; y' и z' - их производные.
Решаем методом исключения, то есть сводим систему к одному уравнению от одной функции.
Решаем по схеме:
1) Выразим y из второго уравнения:
y = 1/4*(z' - z)
2) Дифференцируем всё уравнение, то есть найдем производные:
y' = 1/4*(z'' - z')
3) Подставляем y и y' в первое уравнение:
1/4*(z'' - z') = 5/4*(z' - z) + 3z
4) Раскрываем скобки:
z'' - z' = 5z' - 5z + 12z
5) Упрощаем:
z'' - 6z' - 7z = 0
6) Получили обычное линейное однородное уравнение 2 порядка.
Характеристическое уравнение:
k^2 - 6k - 7 = 0
k1 = -1; k2 = 7
z = C1*e^(-x) + C2*e^(7x)
7) Берем производную найденной функции:
z' = -C1*e^(-x) + 7C2*e^(7x)
8) Подставляем z' и z в выражение y(x) из 1 пункта:
y = 1/4*(z' - z) = 1/4*(-C1*e^(-x) + 7C2*e^(7x) - C1*e^(-x) - C2*e^(7x))
9) Упрощаем это выражение:
y = -1/2*C1*e^(-x) + 3/2*C2*e^(7x)
Ответ записываем в виде системы:
{ y = -1/2*C1*e^(-x) + 3/2*C2*e^(7x)
{ z = C1*e^(-x) + C2*e^(7x)