Задача 71029 Решить дифференциальное уравнение:...
Условие
y(0) =2, y'(0) =1/2.
Решение
Решаем однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
y’’ + 4y =0
Составляем характеристическое уравнение:
k^2+4=0
k_(1)=-2i; k_(2)=2i - корни комплексно- сопряженные
α=0
β =2
Общее решение однородного имеет вид:
y_(общее одн.)=e^( α x)*(С_(1)*cosβx+C_(2)*sinβx)
y_(общее одн.)=С_(1)*cos2x+C_(2)*sin2x
Правая часть
f(x)=2sin2x–cos2x;
0 ± 2i - корень характеристического уравнения
частное решение неоднородного уравнение находим в таком же виде как правая часть, вместо числовых коэффициентов неопределенные коэффициенты А и B
Так как α_(в правой части )=0 β_( (в правой части )=2 ⇒ 0 ± 2i - корень характеристического уравнения
то добавляем множитель x
y_(част ) =x*(A*sin2x+B*cos2x)
Находим производную первого, второго порядка
y`_(част ) =(x*(A*sin2x+B*cos2x))`=A*sin2x+B*cos2x+2*x*A*cos2x-2*x*В* sin2x
y``_(част ) =(y`_(част ))`=(A*sin2x+B*cos2x+2*x*A*cos2x-2*x*В* sin2x)`=2*A*cos2x-2*B*sin2x+2*Acos2x-2*Bsin2x-4x*Asin2x-4x*B*cos2x
и подставляем в уравнение:
2*A*cos2x-2*B*sin2x+2*Acos2x-2*Bsin2x-4x*Asin2x-4x*B*cos2x+4*x*(A*sin2x+B*cos2x)=2sin2x–cos2x;
4A*cos2x-4B*sin2x=2sin2x–cos2x
-4B=2
4A=-1
A=-1/4
B=-1/2
y_(част ) =-(1/4)*x*sin2x-(1/2)*x*cos2x
[b]y_(общее неодн.)=y_(общее одн.)+y_(част ) =С_(1)*cos2x+C_(2)*sin2x-(1/4)*x*sin2x-(1/2)*x*cos2x[/b]
[red]Задача Коши[/red]
y(0) =2, y'(0) =1/2.
y =С_(1)*cos2x+C_(2)*sin2x-(1/4)*x*sin2x-(1/2)*x*cos2x
y`=-2*C_(1)*sin2x+2*C_(2)cos2x-(1/4)*sin2x-(1/4)*2*x*cos2x-(1/2)*cos2x+(1/2)*x*2*sin2x
y(0) =2 ⇒ 2=С_(1)*cos0+C_(2)*sin0x-(1/4)*0*sin0x-(1/2)*0*cos0 ⇒
2=C_(1)
y'(0) =1/2 ⇒ (1/2)=-2*C_(1)*sin0+2*C_(2)cos0-(1/4)*sin0-(1/4)*2*0*cos0-(1/2)*cos0+(1/2)*0*2*sin0
(1/2)=+2C_(2)-(1/2)
C_(2)=1/2
[b]y =2*cos2x+(1/2)*sin2x-(1/4)*x*sin2x-(1/2)*x*cos2x [/b]- решение задачи Коши