Задача 71028 С помощью дифференцирования по параметру...

628a022a6653d96aeebf61ed

26.04.2023 13:40:21

С помощью дифференцирования по параметру вычислить интеграл

5f3ea7e3faf909182968ddd9

26.04.2023 14:24:26

★

[m]I`(y)= ∫^{ ∞} _{0}(e^{-4x^2}cosyx)`_{y}dx=∫^{ ∞} _{0}e^{-4x^2}(-sinyx)\cdot (yx)`_{y}dx=∫^{ ∞} _{0}e^{-4x^2}(-sinyx)\cdot (x)dx=-∫^{ ∞} _{0}sinyx\cdot e^{-4x^2}\cdot xdx[/m]


[m]I`(y)=-∫^{ ∞} _{0}sinyx\cdot e^{-4x^2}\cdot xdx[/m]


интегрирование по частям

[m]u=sin(yx)[/m]

[m]dv=e^{-4x^2}\cdot xdx[/m]

⇒

[m]du=xcos(yx)[/m]

[m]v= ∫ e^{-4x^2}\cdot xdx[/m]

[m]v=-\frac{1}{8}e^{-4x^2}[/m]


[m]I`(y)=-(-\frac{1}{8} e^{-4x^2} sin(yx)|^{ ∞} _{0} - ∫^{ ∞} _{0} (-\frac{1}{8}e^{-4x^2}xcos(yx))dx=[/m]

[m]=\frac{1}{8} \cdot 0-\frac{1}{8}\cdot 0- ∫^{ ∞} _{0} \frac{1}{8}e^{-4x^2}\cdot x\cdot cos(yx))dx=[/m]


еще раз по частям:

[m]u=cos(yx)[/m]

[m]dv=e^{-4x^2}\cdot xdx[/m]

⇒
[m]du=-xsin (yx)[/m]


[m]v=-\frac{1}{8}e^{-4x^2}[/m]


[m]I`(y)=0- (-\frac{1}{8} e^{-4x^2} cos (yx))|^{ ∞} _{0} - ∫^{ ∞} _{0} (-\frac{1}{8}e^{-4x^2}x )\cdot sin(yx)dx )[/m]



[m]I`(y)=(\frac{1}{8} e^{-4x^2} cos(yx))|^{ ∞} _{0}-\frac{1}{8}I`(y) )[/m]

Находим I`(y) из уравнения:

[m]I`(y)+\frac{1}{8}I`(y) =(\frac{1}{8}\cdot 0-\frac{1}{8}\cdot 1)[/m]


[m]\frac{9}{8}I`(y)=-\frac{1}{8} [/m]


[m]I`(y)=-\frac{1}{9}[/m]

Тогда

[m]I(y)= ∫ I`(y)dy=-\frac{1}{9}y + C[/m]