Задача 71004 ...
Условие
а) эллипса;
б)гиперболы;
в) параболы
Где А, В – точки, лежащие на кривой, F – фокус, a – большая (действительная) полуось, b – малая (мнимая) полуось, Е – эксцентриситет, у = + –kx – уравнения асимптот гиперболы, D – директриса кривой, 2с –фокусное расстояние.
а) Е=2/3, А(-6,0)
б) А(√8,0), В(√20/3,2)
в)D: y=1
Решение
Каноническое уравнение: (x - x0)^2 / a^2 + (y - y0)^2 / b^2 = 1, где (x0, y0) - координаты центра эллипса.
Фокус найдем из формулы: c = ae, где c - расстояние от центра до фокуса, e - эксцентриситет.
c = a * 2/3 = 2a / 3.
Фокус F находится на отрезке, соединяющем точку А и центром эллипса, и делит его в отношении 2:1, поэтому координаты фокуса F: (-6 + 2a/3, 0).
Заменяем координаты центра и фокуса в каноническом уравнении и получаем ответ:
(x + 6)^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 1, где a = 3, b = 3√5, x0 = -6, y0 = 0.
б) Гипербола с вершинами в точках А(√8,0) и В(√20/3,2):
Каноническое уравнение: (x - x0)^2 / a^2 - (y - y0)^2 / b^2 = 1.
Найдем эксцентриситет: e = c / a, где c - расстояние от центра до фокуса, a - расстояние от центра до вершины гиперболы.
Фокусное расстояние найдем из формулы: 2c = |AB|.
AB = √[(√20/3 - √8)^2 + (2)^2] = √(16/3) = 4/√3.
Так как AB = 2a, то a = 2/√3, c = a√(1 + b^2/a^2) = √(8/3).
Найдем координаты центра: (x0, y0) = ((√8 + √20/3) / 2, 1).
Теперь можем записать каноническое уравнение:
(x - (√8 + √20/3) / 2)^2 / (4/3) - y^2 / (4/9) = 1.
в) Парабола с директрисой D: y = 1.
Каноническое уравнение параболы: y = (1 / 2a) * x^2 + k, где a - расстояние от вершины до директрисы, k - координата вершины.
Так как директриса D: y = 1, то a = 1/2.
Координаты вершины можно найти, зная, что она находится на расстоянии a от директрисы и на одной высоте с фокусом F. Тогда координаты фокуса: (0, -1/2), а координаты вершины: (0, 1/2).
Подставляем найденные значения в каноническое уравнение и получаем ответ:
y = (1/2) * x^2 + 1/2.