Задача 71003 ...
Условие
Решение
[m]y-x+1=0 [/m]⇒ [m]x=y+1[/m]
-1 ≤ y ≤ 3
[m]S= ∫^{3} _{-1}(y+1-\frac{y^2-1}{2})dy=(\frac{y^2}{2}+y-\frac{y^3}{6}+\frac{1}{2}y)|^{3} _{-1}=\frac{9}{2}-\frac{5}{6}=\frac{16}{3}[/m]
Все решения
Первое неравенство можно переписать в виде y^2 ≤ 2x + 1. Это кривая параболы, которая открывается вверх и имеет вершину в точке (1, 0).
Второе неравенство можно переписать в виде y ≥ x - 1. Это прямая с углом наклона 45 градусов, которая проходит через точку (1, 0) и пересекает ось y в точке (0, -1).
Теперь нужно найти область на координатной плоскости, которая удовлетворяет обоим неравенствам. Эта область находится под параболой y^2 ≤ 2x + 1 и выше прямой y ≥ x - 1.
Чтобы найти площадь этой фигуры, можно разбить ее на две части: треугольник и сегмент параболы. Площадь треугольника можно найти как половину произведения его основания и высоты:
S1 = (1 - (-1))(1 - 0.5) / 2 = 1.5 кв.ед.
Площадь сегмента параболы можно найти с помощью интеграла:
S2 = ∫[0, 1] (2x + 1)^0.5 dx = (4/3)^(1/2) - 1/3 ≈ 0.63 кв.ед.
Таким образом, общая площадь фигуры, заданной данными неравенствами, составляет:
S = S1 + S2 ≈ 2.13 кв.ед.
Ответ: S=S1+S2≈2.13кв.ед.