Задача 70974 Элементы высшей математики. Под номером...

64461e0e1f75a76a8b073364

24.04.2023 09:16:05

Элементы высшей математики. Под номером 14! Остальные решать не надо!

5f3ea7e3faf909182968ddd9

24.04.2023 12:53:58

★

Линейное дифференциальное уравнение второго порядка

Решаем методом Бернулли.

Находим решение в виде произведения двух функций:

y=u*v
y`=u`*v+u*v`

u`*v+u*v`-(2/(xlnx))*u*v=1

Группируем

u`*v+u*(v`-(2/(x*lnx))*v)=1


Условия на функцию v ( пусть выражение в скобках равно 0)

v`-(2/(x*lnx))*v=0

тогда
u`*v=1


Решаем первое уравнение с разделяющимися переменными
v`-(2/(x*lnx))*v=0

dv/v=dx/xlnx ⇒ ∫ dv/v=2 ∫ (1/lnx) *(dx/x)


lnv=2ln|lnx|

lnv=ln(ln^2x)

v=ln^2x



Подставляем во второе


u`*v=1

u`*(ln^2x)=1

u`=ln^(-2)xdx

u= ∫ ln^(-2)xdx

lnx=t
x=e^(t)

dx=e^(t)dt

u= ∫t^(-2)e^(t)dt= интегрирование по частям:

=-(e^(t))/t+ ∫ (1/t)e^(t)dt

∫ (1/t)e^(t)dt- интегральная показательная функция

( это из серии "неберущихся интегралов")

Поэтому скорее всего опечатка в условии

lnx - не в знаменателе.

Должно быть так

y`-(2y/x)*(lnx)=1