Задача 70960 Найти общее решение линейного...
Условие
Подставить в общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка заданные начальные условия, выразив затем константу.
Получить частное решение линейного дифференциального уравнения первого порядка.
Решение
Делим всё на x:
y' + 2y/x = 1/x^2
Это линейное неоднородное уравнение 1 порядка.
Решается заменой y = u*v, тогда y' = u'*v + u*v'
u'*v + u*v' + 2u*v/x = 1/x^2
Выносим u за скобки:
u'*v + u*(v' + 2v/x) = 1/x^2
Приравниваем скобку к 0:
v' + 2v/x = 0
dv/dx = -2v/x
Это уравнение с разделяющимися переменными:
dv/v = -2dx/x
Берем интегралы от левой и правой части:
ln |v| = -2ln |x| = ln |x^(-2)| = ln |1/x^2|
v = 1/x^2
Подставляем в наше уравнение:
u'*1/x^2 + u*0 = 1/x^2
u'*1/x^2 = 1/x^2
Ну это просто подарок! Умножаем всё на x^2:
u' = 1
u = x + C
Возвращаемся к функции y = u*v:
y = u*v = (x + C)*1/x^2 = 1/x + C/x^2