Задача 70946 y' *ctgx-y=2cos^2x, y(0) =1. Решить...
Условие
Решение
Делим всё на ctg x = cos x/sin x (или умножаем на tg x)
y' - y*tg x = 2cos x*sin x
Неоднородное линейное дифференциальное уравнение 1 порядка,
решается заменой y = u*v; y' = u'*v + u*v'
u'*v + u*v' - u*v*tg x = 2sin x*cos x
Выносим u за скобки
u'*v + u*(v' - v*tg x) = 2sin x*cos x
Скобку приравниваем к 0.
v' - v*tg x = 0
Это уравнение с разделяющимися переменными:
dv/dx = v*tg x
dv/v = tg x dx
Берем интегралы от левой и правой частей:
ln |v| = -ln |cos x| = ln |1/cos x|
v = 1/cos x
Подставляем в наше уравнение:
u'*1/cos x = 2sin x*cos x
du/dx = 2sin x*cos^2 x
du = 2sin x*cos^2 x dx
Этот интеграл берется заменой:
t = cos x; dt = -sin x dx
[m]u = -2\int t^2 dt = -2\frac{t^3}{3} = -\frac{2cos^3(x)}{3} + C[/m]
Возвращаемся к нашей функции y = u*v
y = (-2cos^3(x)/3 + C)*1/cos x = -2/3*cos^2(x) + C/cos x
Теперь подставляем начальные условия: y(0) = 1
-2/3*cos^2(0) + C/cos 0 = 1
-2/3*1 + C/1 = 1
-2/3 + C = 1
C = 1 + 2/3 = 5/3
Ответ: y = -2/3*cos^2(x) + 5/(3cos x)