Задача 70942 (x^2+4xy + 5y^2)dx= (6x^2+4xy)dy, y...
Условие
Решение
По правилу пропорции:
[m]\frac{x^2 + 4xy + 5y^2}{6x^2 + 4xy} = \frac{dy}{dx}[/m]
Справа понятно, dy/dx = y'.
Слева заметим, что x ≠ 0, иначе знаменатель обратится в 0.
Делим числитель и знаменатель на x^2.
В результате дробь остается той же.
[m]y' = \frac{5y^2/x^2 + 4y/x + 1}{4y/x + 6}[/m]
Замена y/x = t; y = t*x; y' = t'*x + t
[m]t'x + t = \frac{5t^2 + 4t + 1}{4t + 6}[/m]
[m]t'x = \frac{5t^2 + 4t + 1}{4t + 6} - t = \frac{5t^2 + 4t + 1-4t^2-6t}{4t + 6}[/m]
[m]t'x = \frac{t^2 - 2t + 1}{4t + 6} = \frac{(t-1)^2}{4t + 6}[/m]
Получили уравнение с разделяющимися переменными.
[m]\frac{dt}{dx} = \frac{(t-1)^2}{4t + 6} \cdot \frac{1}{x}[/m]
[m]\frac{4t+6}{(t-1)^2}\ dt = \frac{dx}{x}[/m]
Берем интегралы от обеих частей.
[m]\int \frac{4t+6}{(t-1)^2}\ dt = \int \frac{4(t-1)+10}{(t-1)^2}\ dt=4\int \frac{dt}{t-1} + 10\int \frac{dt}{(t-1)^2} = 4ln|t - 1| - \frac{10}{t-1}[/m]
[m]\int \frac{dx}{x} = ln |x| + ln(С) = ln |Cx|[/m]
Приравниваем эти функции:
[m]4ln|t - 1| - \frac{10}{t-1} = ln |Cx|[/m]
Возвращаемся к исходной функции y(x):
[m]4ln|\frac{y}{x} - 1| - \frac{10}{\frac{y}{x}-1} = ln |Cx|[/m]
[m]4ln|\frac{y-x}{x}| - \frac{10}{\frac{y-x}{x}} = ln |Cx|[/m]
[m]4(ln|y-x| - ln|x|) - \frac{10x}{y-x} = ln |Cx|[/m]
[m]4ln|y-x| - 4ln|x| - \frac{10x}{y-x} = ln |Cx|[/m]
[m]4ln|y-x| - \frac{10x}{y-x} = ln |Cx| + 4ln|x|[/m]
[m]4ln|y-x| - \frac{10x}{y-x} = ln |Cx \cdot x^4|[/m]
[m]4ln|y-x| - \frac{10x}{y-x} = ln |Cx^5|[/m]
Дальше ее упростить вряд ли получится.
Теперь подставляем начальные данные: y(1) = 2
[m]4ln|2-1| - \frac{10 \cdot 1}{2-1} = ln |C \cdot 1^5|[/m]
[m]4ln(1) - \frac{10}{1} = ln |C|[/m]
ln |C| = 10
C = e^(10)
[m]4ln|y-x| - \frac{10x}{y-x} = ln |e^{10}x^5|[/m]
[m]4ln|y-x| - \frac{10x}{y-x} = ln (e^{10})+ln|x^5|[/m]
[m]4ln|y-x| - \frac{10x}{y-x} = 10 + 5ln |x|[/m]