Задача 70935 напишите этапы получения частного...
Условие
Решение
y'' + ay' + by = f(x)
Сначала нужно найти y_(о) - решение однородного уравнения:
y'' + ay' + by = 0
Для этого нужно решить характеристическое уравнение:
k^2 + ak + b = 0
Здесь коэффициенты те же, что и в однородном уравнении.
Это обыкновенное квадратное уравнение, решается через D.
D = a^2 - 4b
k1 = (-a - sqrt(D))/2; k1 = (-a + sqrt(D))/2
Тут возможны варианты:
[b]1)[/b] D > 0
Уравнение имеет 2 разных действительных корня k1 и k2.
Тогда решение однородного уравнения имеет вид:
y_(о) = C1*e^(k1*x) + C2*e^(k2*x)
В частности, если один из корней k1 = 0, то:
y_(о) = C1 + C2*e^(k2*x)
[b]2)[/b] D = 0
Уравнение имеет 2 равных действительных корня
k1 = k2 = k = -a/2
Тогда решение однородного уравнения имеет вид:
y_(о) = (C1 + C2*x)*e^(k*x)
[b]3)[/b] D < 0
Уравнение имеет 2 комплексных корня:
k1 = α + i*β ; k2 = α - i*β
Тогда решение однородного уравнения имеет вид:
y_(о) = e^(αx)*(С1*cos(βx) + С2*sin(βx))
Теперь ищем y_(н) - частное решение неоднородного уравнения
Смотрим, какой вид имеет функция f(x) в правой части.
Тут возможны такие варианты:
[b]1)[/b] f(x) = P_(m)(x) - многочлен степени m.
Тогда частное решение
y_(н) = Q_(m)(x), другой многочлен степени m.
Причем, если k1 ≠ 0 и k2 ≠ 0, то просто y_(н) = Q_(m)(x)
Если k1 = 0 и k2 ≠ 0, то y_(н) = x*Q_(m)(x)
Если k1 = k2 = 0, то y_(н) = x^2*Q_(m)(x)
[b]2)[/b] f(x) = e^(αx)*P_(m)(x)
Тогда частное решение
y_(н) = e^(αx)*Q_(m)(x).
И тут такие же фокусы с нулями:
Если k1 = 0 и k2 ≠ 0, то y_(н) = x*e^(αx)*Q_(m)(x)
Если k1 = k2 = 0, то y_(н) = x^2*e^(αx)*Q_(m)(x)
[b]3)[/b] f(x) = P_(m)(x)*cos(βx) + P_(m)(x)*sin(βx)
Заметьте, что P_(m)(x) и P_(n)(x) - могут быть разной степени!
Тогда частное решение
y_(н) = Q1_(s)(x)*cos(βx) + Q2_(s)(x)*sin(βx)
Здесь Q1_(s)(x) и Q2_(s)(x) - разные многочлены одной степени
Причем степень s - это наибольшая из степеней m и n.
Если k1 = i*β, k2 ≠ i*β, то y_(н) = x*(Q1_(s)(x)*cos(βx) + Q2_(s)(x)*sin(βx))
Если k1 = k2 = i*β, то y_(н) = x^2*(Q1_(s)(x)*cos(βx) + Q2_(s)(x)*sin(βx))
[b]4)[/b] f(x) = e^(αx)*(P_(m)(x)*cos(βx) + P_(n)(x)*sin(βx))
Тогда частное решение
y_(н) = e^(αx)*(Q1_(s)(x)*cos(βx) + Q2_(s)(x)*sin(βx))
Если k1 = α + i*β, то y_(н) = x*e^(αx)*(Q1_(s)(x)*cos(βx) + Q2_(s)(x)*sin(βx))
[b]5)[/b] Если правая часть имеет вообще не такой вид, и не подходит ни под один из этих случаев, тогда надо решать методом вариации произвольной постоянной.
Это отдельный большой и сложный метод, и его надо описывать в отдельном вопросе.
Всё!