Задача 70914 Найти все значения a, при которых...
Условие
Решение
Найти все а, при которых уравнение имеет единственное решение на промежутке (4/3; 2]
Область определения:
{ 3x - 4 > 0
{ 3x - 4 ≠ 1
{ 9x + a + 5 > 0
Решаем:
{ x > 4/3
{ x ≠ 5/3
{ x > (a + 5)/9
Если (a + 5)/9 > 2, то есть a > 13, то по 3 неравенству будет x > 2,
то есть не попадает в промежуток.
Поэтому a > 13 не подходит.
Решаем само уравнение. По определению логарифма:
(3x - 4)^(-1) = 9x + a + 5
1/(3x - 4) = 9x + a + 5
Так как 3x - 4 ≠ 0, то можно на него умножить:
1 = (3x - 4)(9x + a + 5)
27x^2 - 36x + 3ax - 4a + 15x - 20 = 1
27x^2 + (3a - 21)x + (-4a - 21) = 0
D = (3a - 21)^2 - 4*27*(-4a - 21) = 9a^2 - 126a + 441 + 432a + 2268
D = 9a^2 + 306a + 2709 = 9(a^2 + 34a + 301)
Корни будут, если D ≥ 0
a^2 + 34a + 301 ≥ 0
D_1/4 = 17^2 - 301 = 289 - 301 = -12 < 0
Значит, корни будут при любом а.
[m]x1=\frac{21-3a - 3\sqrt{a^2 + 34a + 301}}{54} = \frac{7-a - \sqrt{a^2 + 34a + 301}}{18}[/m]
[m]x2=\frac{21-3a + 3\sqrt{a^2 + 34a + 301}}{54} = \frac{7-a + \sqrt{a^2 + 34a + 301}}{18}[/m]
Ясно, что x1 < x2.
x1 и x2 должны входить в область определения, но по условию только один корень должен входить в промежуток (4/3; 2]:
{ x1 ∈ (4/3; 2]
{ x2 > 2
Решаем неравенства:
{ [m]\frac{7-a - \sqrt{a^2 + 34a + 301}}{18} > \frac{4}{3}[/m]
{ [m]\frac{7-a - \sqrt{a^2 + 34a + 301}}{18} ≠ \frac{5}{3}[/m]
{ [m]\frac{7-a - \sqrt{a^2 + 34a + 301}}{18} > \frac{a+5}{9}[/m]
{ [m]\frac{7-a - \sqrt{a^2 + 34a + 301}}{18} ≤ 2[/m]
{ [m]\frac{7-a + \sqrt{a^2 + 34a + 301}}{18} > 2[/m]
Умножаем все неравенства на 18:
{ 7 - a - sqrt(a^2 + 34a + 301) > 24
{ 7 - a - sqrt(a^2 + 34a + 301) ≠ 30
{ 7 - a - sqrt(a^2 + 34a + 301) > 2a + 10
{ 7 - a - sqrt(a^2 + 34a + 301) ≤ 36
{ 7 - a + sqrt(a^2 + 34a + 301) > 36
Выделяем радикалы:
{ sqrt(a^2 + 34a + 301) < -a - 17
{ sqrt(a^2 + 34a + 301) ≠ -a - 23
{ sqrt(a^2 + 34a + 301) < -3a - 3
{ sqrt(a^2 + 34a + 301) ≥ -a - 29
{ sqrt(a^2 + 34a + 301) > a + 29
Заметим, что корень арифметический, то есть неотрицательный.
Поэтому при a > -17 первое неравенство не имеет решений.
3 неравенство не имеет решений при a > -1.
Таким образом, имеет смысл рассматривать только a < -17.
При этом 1 неравенство истинно при любом а, поэтому его можно не рассматривать.
Возводим все остальные неравенства в квадрат:
{ a^2 + 34a + 301 ≠ a^2 + 46a + 529
{ a^2 + 34a + 301 < 9a^2 + 18a + 9
{ a^2 + 34a + 301 > a^2 + 58a + 841
Решаем:
{ 12a ≠ -228
{ 8a^2 - 16a - 292 > 0
{ 24a < -540
Получаем:
{ a ≠ -19
{ a < -22,5
{ 2a^2 - 4a - 73 > 0
Решаем последнее квадратное неравенство:
D_2/4 = (-2)^2 + 2*73 = 4 + 146 = 150 = (5sqrt(6))^2
a1 = (2 - 5sqrt(6))/2 = 1 - 2,5sqrt(6)
a2 = (2 + 5sqrt(6))/2 = 1 + 2,5sqrt(6)
Решение неравенства:
a ∈ (-oo; 1 - 2,5sqrt(6)) U (1 + 2,5sqrt(6); +oo)
С учетом остальных неравенств:
Ответ: a < -22,5