Задача 70904 Вычислить приближенно с помощью...
Условие
Решение
[m]z(x_{o}+ Δx; y_{o}+ Δy)-z(x_{o}; y_{o})= Δz[/m] - приращение функции
В приближенных вычислениях полагают
[m] Δz ≈dz(x_{o};y_{o}[/m]
[m]z(x_{o}+ Δx; y_{o}+ Δy)-z(x_{o}; y_{o}) ≈ \frac{ ∂z }{ ∂x }(x_{o};y_{o})\cdot Δx+\frac{ ∂z }{ ∂y }(x_{o};y_{o})\cdot Δy[/m]
приращение приближенно равно дифференциалу в "хорошей" точке (x_(o);y_(o))
⇒
[m]z(x_{o}+ Δx; y_{o}+ Δy) ≈ z(x_{o}; y_{o}) + \frac{ ∂z }{ ∂x }(x_{o};y_{o})\cdot Δx+\frac{ ∂z }{ ∂y }(x_{o};y_{o})\cdot Δy[/m]
значение функции в " плохой точке" (x_{o}+ Δx; y_{o}+ Δy} приближенно равно значению функции в в "хорошей" точке (x_(o);y_(o)) + дифференциал в "хорошей" точке (x_(o);y_(o))
x=2,03; x_(o)=2; Δx=0,03
y=3,001; y_(o)=3; Δy=0,001
[m]\frac{ ∂z }{ ∂x }=(x^{y})`_{x}=y\cdot x^{y-1}[/m]
[m]\frac{ ∂z }{ ∂y }=(x^{y})`_{y}= x^{y}\cdot lnx[/m]
[m]z(x_{o}; y_{o})=2^3=8[/m]
[m]\frac{ ∂z }{ ∂x }(x_{o}; y_{o})=3\cdot 2^{3-1}=12[/m]
[m]\frac{ ∂z }{ ∂y }(x_{o}; y_{o})= 2^{3}\cdot ln2=8ln2[/m]
[m]2,03^{3,001}≈8+12\cdot 0,03+8ln2\cdot 0,001 [/m]
считайте...