Задача 70903 ...
Условие
Решение
Когда мы берем производную по x, то y считаем константой.
Поэтому y'_(x) = 0
[m]\frac{dz}{dx}=\frac{y'(x^2 - y^2) - y(x^2 - y^2)'}{(x^2-y^2)^2} =\frac{0 - y \cdot 2x}{(x^2-y^2)^2} = -\frac{2xy}{(x^2-y^2)^2}[/m]
Когда мы берем производную по y, то x считаем константой.
Поэтому x'_(y) = 0
[m]\frac{dz}{dy}=\frac{y'(x^2 - y^2) - y(x^2 - y^2)'}{(x^2-y^2)^2} = \frac{1(x^2 - y^2) - y \cdot(-2y)}{(x^2-y^2)^2} = \frac{x^2 + y^2}{(x^2-y^2)^2}[/m]
Подставляем это всё в наше выражение:
[m]x \cdot \frac{dz}{dx} + y \cdot \frac{dz}{dy} + z = -\frac{2x^2y}{(x^2-y^2)^2} + \frac{x^2y + y^3}{(x^2-y^2)^2} + \frac{y}{x^2-y^2} =[/m]
[m]= \frac{-2x^2y + x^2y + y^3 + y(x^2 - y^2)}{(x^2-y^2)^2} = \frac{-2x^2y + x^2y + y^3 + x^2y - y^3}{(x^2-y^2)^2} = \frac{0}{(x^2-y^2)^2} = 0[/m]
Доказано!