Задача 70874 Найти площадь фигуры, ограниченной...

643e8fb6dc8af77c5440385d

19.04.2023 11:18:55

Найти площадь фигуры, ограниченной линией
y^2=x^3-x^4. Заранее спасибо

626fab9a354ab65fb2f43abb

19.04.2023 12:17:54

★

y^2 = x^3 - x^4
y = +-sqrt(x^3 - x^4)
Фигура показана на графике.
Ясно, что она состоит из двух половин - ниже и выше оси Ox.
Поэтому площадь надо искать, как двойной интеграл.
Пределы интегрирования: 0 и 1
[m]S = 2 \int_0^1 \sqrt{x^3 - x^4} dx[/m]
Скажу честно - я не знаю, как решать такой интеграл.
Вольфрам Альфа показывает решение:
[m]S= 2 \cdot \frac{x(-8x^3+10x^2+x-3) - 3\sqrt{x-x^2}/sin(\sqrt{1-x}))}{24\sqrt{x-x^2}}|_0^1= 2 \cdot \frac{\pi}{16} = \frac{\pi}{8}[/m]
Каким образом из этой дроби получается π/16, я не знаю.
Тем более, что и при x = 0, и при x = 1 знаменатель равен 0.