Задача 70840 Решить дифференциальное уравнение y' =...

643d92337315d44694714af5

17.04.2023 21:50:20

Решить дифференциальное уравнение

y' = (5x^2-xy+y^2) / x^2

626fab9a354ab65fb2f43abb

18.04.2023 00:28:16

★

[m]y' = \frac{5x^2-xy + y^2}{x^2}[/m]
Разложим на сумму дробей:
[m]y' = \frac{5x^2}{x^2}-\frac{xy}{x^2}+\frac{y^2}{x^2}[/m]
Упрощаем:
[m]y' = 5 -\frac{y}{x}+(\frac{y}{x})^2[/m]
Это однородное уравнение 1 порядка. Решается заменой:
y/x = t(x); y = t(x)*x; y' = t'(x)*x + t*x' = t'*x + t
Подставляем всё это в уравнение:
[m]t'x + t = t^2 - t + 5[/m]
[m]\frac{dt}{dx} \cdot x = t^2 - 2t + 5[/m]
[m]\frac{dt}{dx} \cdot x = t^2 - 2t + 1 + 4[/m]
[m]\frac{dt}{dx} \cdot x = (t - 1)^2 + 4[/m]
[m]\frac{dt}{(t - 1)^2 + 4} = \frac{dx}{x}[/m]
Получили уравнение с разделёнными переменными.
Решается интегрированием обеих частей.
[m]\frac{1}{2}arctg(\frac{t-1}{2}) = ln |x| + ln C[/m]
[m]arctg(\frac{t-1}{2}) = 2ln(Cx) = ln(Cx)^2[/m]
[m]\frac{t-1}{2} = tg(ln(Cx)^2)[/m]
[m]t-1 = 2tg(ln(Cx)^2)[/m]
[m]\frac{y}{x} = 2tg(ln(Cx)^2) + 1[/m]

Ответ: [b]y = 2x*tg(ln(Cx)^2) + x[/b]