Задача 70828 Разложить в степенной ряд данную функцию...
Условие
Решение
[m]u=ln\frac{1+t}{1-t}[/m]
[m]du=\frac{1}{\frac{1+t}{1-t}}\cdot (\frac{1+t}{1-t})`dt[/m]
[m]du=\frac{1-t}{1+t}\cdot \frac{(1+t)`\cdot (1-t)-(1+t)\cdot (1-t)`}{(1-t)^2}dt[/m]
[m]du=\frac{1-t}{1+t}\cdot \frac{ (1-t)-(1+t)}{(1-t)^2}dt[/m]
[m]du=\frac{(-2t)}{(1+t)(1-t)}dt[/m]
[m]dv=dt[/m]
[m]v=t[/m]
[m] ∫^{x} _{0}ln\frac{1+t}{1-t}dt=(t\cdot ln\frac{1+t}{1-t})|^{x}_{0}- ∫^{x}_{0}t\cdot \frac{(-2t)}{(1+t)(1-t)}dt = [/m]
[m]=x ln\frac{1+x}{1-x}-2 ∫^{x}_{0} \frac{t^2}{t^2-1}dt= [/m]
под интегралом неправильная дробь. Выделяем целую часть
[m]=x ln\frac{1+x}{1-x}-2 ∫^{x}_{0} \frac{t^2-1+1}{t^2-1}dt=x ln\frac{1+x}{1-x}-2 ∫^{x}_{0}dt-2∫^{x}_{0} \frac{1}{t^2-1}dt= [/m]
[m]=x ln\frac{1+x}{1-x}-2( t)|^{x}_{0}-2\frac{1}{2}(ln|\frac{t-1}{t+1}|)|^{x}_{0}=[/m]
[m]=x ln\frac{1+x}{1-x}-2x-ln|\frac{x-1}{x+1}|[/m]
так как
[m]\frac{1+x}{1-x}>0 [/m] при [m]x ∈ (-1;1)[/m] и [m]\frac{x-1}{x+1}<0[/m] при [m]x ∈ (-1;1)[/m]
⇒ |\frac{x-1}{x+1}|=-\frac{x-1}{x+1}=\frac{1-x}{1+x}[/m]
Итак, требуется разложить в ряд функцию:
[m]F(x)=x ln\frac{1+x}{1-x}-2x-ln\frac{1-x}{1+x}[/m]
для этого используем разложение элементарных функций в ряд
( см. приложение)
