Задача 70827 Найти первую производную неявной...
Условие
yarcsin(x/y) + x^2 = y
Решение
Все решения
Дифференцируем обе части равенства:
[m](y\cdot arcsin\frac{x}{y}+x^2)`_{x}=y`_{x}[/m]
y- функция, зависящая от х
x - независимая переменная
[m]y`_{x}\cdot arcsin\frac{x}{y}+y\cdot(arcsin\frac{x}{y})`_{x} +(x^2)`_{x}=y`_{x}[/m]
[m]y`\cdot arcsin\frac{x}{y}+y\cdot\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{x}{y})^2}}\cdot (\frac{x}{y})`_{x} +2x=y`[/m]
[m]y`\cdot arcsin\frac{x}{y}+y\cdot \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{x}{y})^2}}\cdot\frac{x`\cdot y-x\cdot y`}{y^2}+2x=y`[/m]
x`=1 так как x - независимая переменная
[m]y`\cdot arcsin\frac{x}{y}+y\cdot \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{x}{y})^2}}\cdot\frac{ y-x\cdot y`}{y^2}+2x=y`[/m]
[m]y`\cdot arcsin\frac{x}{y}+ \frac{y^2}{\sqrt{1-(\frac{x}{y})^2}}-\frac{xy\cdot y`}{\sqrt{1-(\frac{x}{y})^2}}+2x=y`[/m]
Находим y` :
[m]y`\cdot (arcsin\frac{x}{y}-\frac{x}{ \sqrt{y^2-x^2}}-1)=-2x-\frac{y}{ \sqrt{y^2-x^2}}[/m]
[m]y`=\frac{-2x-\frac{y}{ \sqrt{y^2-x^2}}}{arcsin\frac{x}{y}-\frac{x}{ \sqrt{y^2-x^2}}-1}[/m]
Умножаем и числитель и знаменатель на (-1)
[m]y`=\frac{2x+\frac{y}{ \sqrt{y^2-x^2}}}{1-arcsin\frac{x}{y}+\frac{x}{ \sqrt{y^2-x^2}}}[/m]
2 способ
