Задача 70820 Необходимо решить пример, что указан на...
Условие
Решение
1 способ
[m] ∫ \frac{(7x-10)dx}{40x^2+54x-28}=∫ \frac{(7x-10)dx}{2(20x^2+27x-14)}[/m]
Разложим знаменатель на множители:
D=27^2-4*20*(-14)=729+1120=1849=43^2
x_(1)=[m]-\frac{7}{4}[/m]; x_(2)=[m]\frac{2}{5}[/m];
(20x^2+27x-14)=20(x-([m]-\frac{7}{4}[/m]))*(x-[m]\frac{2}{5})[/m]
Раскладываем дробь [m] \frac{(7x-10)dx}{x^2+\frac{27}{20}x-\frac{14}{20}}[/m] на простейшие [i]методом неопределенных коэффициентов[/i]
[m] \frac{(7x-10)dx}{x^2+\frac{27}{20}x-\frac{14}{20}}=\frac{A}{x+\frac{7}{4}}+\frac{B}{x-\frac{2}{5}}[/m]
[m]7x-10=A\cdot (x-\frac{2}{5})+B\cdot (x+\frac{7}{4})[/m]
⇒
[m]A=\frac{445}{43}[/m]
[m]B=-\frac{144}{43}[/m]
[m] ∫ \frac{(7x-10)dx}{40x^2+54x-28}=∫ \frac{(7x-10)dx}{2(20x^2+27x-14)}=\frac{1}{40} ∫\frac{7x-10}{x^2-\frac{27}{20}-\frac{28}{20}}=\frac{1}{40}\cdot \frac{445}{43} ∫\frac{1}{x+\frac{7}{4}} dx-\frac{1}{40}\cdot \frac{144}{43} ∫\frac{1}{x-\frac{2}{5}} dx= [/m]
табличный интеграл [m] ∫ \frac{du}{u}=ln|u|[/m]
[m]= \frac{445}{1720} ln|x+\frac{7}{4}|- \frac{144}{1720}ln|x-\frac{2}{5}|+C[/m]