Задача 70819 Найдите все значения a, при каждом из...
Условие
Решение
1) 2x - y - 10 < 0; тогда |2x - y - 10| = -2x + y + 10
y > 2x - 10
x^2 - 8x + y^2 + 4y + 15 = -8x + 4y + 40
x^2 + y^2 + 15 = 40
x^2 + y^2 = 25
Это окружность с центром O(0; 0) и радиусом R = sqrt(25) = 5
2) 2x - y - 10 ≥ 0; тогда |2x - y - 10| = 2x - y - 10
y ≤ 2x - 10
x^2 - 8x + y^2 + 4y + 15 = 8x - 4y - 40
x^2 - 16x + y^2 + 8y + 55 = 0
(x^2 - 2*8x + 8^2) - 8^2 + (y^2 + 2*4y + 4^2) - 4^2 + 55 = 0
(x - 8)^2 + (y + 4)^2 = 8^2 + 4^2 - 55
(x - 8)^2 + (y + 4)^2 = 64 + 16 - 55
(x - 8)^2 + (y + 4)^2 = 25
Это окружность с центром A(8; -4) и радиусом R = sqrt(25) = 5
2 уравнение:
x + 2y = a
Это прямая при любом значении а.
Я не знаю, как решать эту систему аналитически.
Я построил графики и оказалось, что:
a ∈ (-11,25; 11,25)
В этих точках прямая x + 2y = a имеет 2 точки касания с этими окружностями.
Интересно, что прямая y = 2x - 10 - это как раз прямая, соединяющая точки пересечения окружностей: A(5; 0) и B(3; -4).
При а = 5 прямая как раз проходит через точку (5; 0).
Это значит, что при a ∈ (-11,25; 5) будет 2x - y - 10 < 0.
А при a ∈ [5; 11,25) будет 2x - y - 10 ≥ 0
Ответ: a ∈ (-11,25; 11,25)